Il existe une caractérisation simple des espaces normés séparables. Cette caractérisation est basée sur l'existence d'une suite totale.
Si dans un espace normé E il existe une suite totale, E est séparable. Réciproquement, dans un espace normé séparable E, il existe une suite totale formée de vecteurs linéairement indépendants.
Soit K le corps de base de E, convenons d'appeler 'rationnels' les éléments de $\mathbb{Q}$ si K=$\mathbb{R}$ ou bien les complexes de la forme x+iy où x et y sont dans $\mathbb{Q}$, si K=$\mathbb{C}$.
Soit (an) une suite totale, et soit D l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies r1a1+...+rnan à coefficients rationnels. Si Dn désigne les combinaisons à coefficients rationnels de a1,..,an, Dn s'identifie à un produit fini d'ensembles dénombrables, donc Dn est dénombrable, et D est dénombrable comme réunion croissante d'une suite d'ensembles dénombrables.
L'ensemble L de toutes les combinaisons linéaires des ai est, par hypothèse, dense dans E, il suffit donc de montrer que D est dense dans L.
Mais d'après l'inagalité du triangle, nous avons $\left \| \sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{j}-\sum_{i=1}^{n}r_{i}a_{j} \right \|\leq \sum_{i=1}^{n}\left | \lambda _{i}-r_{i} \right |.\left \| a_{i} \right \|$, de sorte que la densité de D dans L résulte de la densité des rationnels dans K.
Supposons réciproquement que E soit séparable ; on peut supposer que E est de dimension infinie, sinon toute base de E est un sous-ensemble total fini. Soit (an) une suite infinie dense de E. Nous fabriquons une suite extraite (akn)de (an) de la façon suivante. k1=1, k2 est le plus petit entier n>k1 tel que an n'est pas colinéaire à ak1 et ainsi de suite par récurrence, kn est le plus petit des entiers n≥kn-1 tels que an ne soit pas combinaison linéaire des ak1,...akn-1. La possibilité de construire une telle suite extraite résulte du fait qu'à chaque étape le sous-espace Vn fermé engendré par ak1, ... akn contiendrait l'adhérence E de l'ensemble de tous les an, ce qui est contraire à l'hypothèse. Comme par construction toute combinaison linéaire finie des an est combinaison linéaire finie des akn notre proposition suit.
Soit (an) une suite totale, et soit D l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies r1a1+...+rnan à coefficients rationnels. Si Dn désigne les combinaisons à coefficients rationnels de a1,..,an, Dn s'identifie à un produit fini d'ensembles dénombrables, donc Dn est dénombrable, et D est dénombrable comme réunion croissante d'une suite d'ensembles dénombrables.
L'ensemble L de toutes les combinaisons linéaires des ai est, par hypothèse, dense dans E, il suffit donc de montrer que D est dense dans L.
Mais d'après l'inagalité du triangle, nous avons $\left \| \sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{j}-\sum_{i=1}^{n}r_{i}a_{j} \right \|\leq \sum_{i=1}^{n}\left | \lambda _{i}-r_{i} \right |.\left \| a_{i} \right \|$, de sorte que la densité de D dans L résulte de la densité des rationnels dans K.
Supposons réciproquement que E soit séparable ; on peut supposer que E est de dimension infinie, sinon toute base de E est un sous-ensemble total fini. Soit (an) une suite infinie dense de E. Nous fabriquons une suite extraite (akn)de (an) de la façon suivante. k1=1, k2 est le plus petit entier n>k1 tel que an n'est pas colinéaire à ak1 et ainsi de suite par récurrence, kn est le plus petit des entiers n≥kn-1 tels que an ne soit pas combinaison linéaire des ak1,...akn-1. La possibilité de construire une telle suite extraite résulte du fait qu'à chaque étape le sous-espace Vn fermé engendré par ak1, ... akn contiendrait l'adhérence E de l'ensemble de tous les an, ce qui est contraire à l'hypothèse. Comme par construction toute combinaison linéaire finie des an est combinaison linéaire finie des akn notre proposition suit.