Soit K le corps de base de E, convenons d'appeler 'rationnels' les éléments de $\mathbb{Q}$ si K=$\mathbb{R}$ ou bien les complexes de la forme x+iy où x et y sont dans $\mathbb{Q}$, si K=$\mathbb{C}$.
Soit (a_n) une suite totale, et soit D l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies r₁a₁+...+r_na_n à coefficients rationnels. Si D_n désigne les combinaisons à coefficients rationnels de a₁,..,a_n, D_n s'identifie à un produit fini d'ensembles dénombrables, donc D_n est dénombrable, et D est dénombrable comme réunion croissante d'une suite d'ensembles dénombrables.
L'ensemble L de toutes les combinaisons linéaires des a_i est, par hypothèse, dense dans E, il suffit donc de montrer que D est dense dans L.
Mais d'après l'inagalité du triangle, nous avons $\left \| \sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{j}-\sum_{i=1}^{n}r_{i}a_{j} \right \|\leq \sum_{i=1}^{n}\left | \lambda _{i}-r_{i} \right |.\left \| a_{i} \right \|$, de sorte que la densité de D dans L résulte de la densité des rationnels dans K.
Supposons réciproquement que E soit séparable ; on peut supposer que E est de dimension infinie, sinon toute base de E est un sous-ensemble total fini. Soit (a_n) une suite infinie dense de E. Nous fabriquons une suite extraite (a_kn)de (a_n) de la façon suivante. k₁=1, k₂ est le plus petit entier n>k₁ tel que a_n n'est pas colinéaire à a_k1 et ainsi de suite par récurrence, k_n est le plus petit des entiers n≥k_n-1 tels que a_n ne soit pas combinaison linéaire des a_k1,...a_kn-1. La possibilité de construire une telle suite extraite résulte du fait qu'à chaque étape le sous-espace V_n fermé engendré par a_k1, ... a_kn contiendrait l'adhérence E de l'ensemble de tous les a_n, ce qui est contraire à l'hypothèse. Comme par construction toute combinaison linéaire finie des a_n est combinaison linéaire finie des a_kn notre proposition suit.