Fonctions strictement différentiables

E et F désigne deux espaces de Banach, U un ouvert de E et f:U→F une application définie sur U ; a désigne un point de U.

On dit que f est strictement différentiable en a, s'il existe une application linéaire continue $u\in \mathfrak{L}(E;F)$ telle que ∀ε>0, ∃η>0 tel que f-u soit ε-lipschitzienne dans la boule ouverte B(a,η) ce qui signifie :
$$\left \| f(y)-f(x)-u(y-x) \right \|\leqslant \varepsilon \left \| y-x \right \|\text{ pour tous } x,y\in B(a,\eta )$$

Il résulte de cette définition que :

Si f est strictement différentiable en a alors f est différentiable en a.

Il suffit pour le voir de prendre y=a dans la définition.
Voici maintenant une condition suffisante de différentiabilité stricte :

Si f est de classe C1 sur U alors f est strictement différentiable en tout point de U.
Posons g(x)=f(x)-f(a)-f'(a).(x-a). Utilisant la continuité de f' en a, pour tout ε>0 il existe η>0 tel que pour tout y∈B(a,η) ||g'(y)||≤ε.
Il suffit alors d'utiliser ce théorème.

Il existe des applications strictement différentiables en un point sans que pour autant la dérivée soit continue en ce point (voir les exercices).
Cependant :

Si f est différentiable sur U (en tout point) et si f est strictement différentiable en a alors f' est continue en a.

Soit ε>0 et η>0 tels que h=f-f'(a) soit ε-lipschitzienne dans B(a,η), la preuve résulte maintenant de ce lemme :

Si h est différentiable et k-lipschitzienne sur U alors ||h'(x)||≤k pour tout x de U.
En effet, de :
$$h'(x).u=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{h(x+tu)-h(x)}{t}$$
Nous tirons :
$$\left \| h'(x).u \right \|=\lim_{t\rightarrow 0}\left \| \frac{h(x+tu)-h(x)}{t} \right \|$$
Pour t assez petit x+tu∈U donc :
$$\left \| h(x+tu)-h(x) \right \|\leqslant k\left \| tu \right \|$$
et :
$$\left \| h'(x).u \right \|=\lim_{t\rightarrow 0}\left \| \frac{h(x+tu)-h(x)}{t} \right \|\leqslant k\left \| u \right \|$$
qui nous donne bien ||h'(x)||≤k.

Exercices

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