E et F désigne deux espaces de Banach, U un ouvert de E et f:U→F une application définie sur U ; a désigne un point de U.
On dit que f est strictement différentiable en a, s'il existe une application linéaire continue u∈L(E;F) telle que ∀ε>0, ∃η>0 tel que f-u soit ε-lipschitzienne dans la boule ouverte B(a,η) ce qui signifie :
‖
‖
Il résulte de cette définition que :
Si f est strictement différentiable en a alors f est différentiable en a.
Il suffit pour le voir de prendre y=a dans la définition.
Voici maintenant une condition suffisante de différentiabilité stricte :
Si f est de classe C1 sur U alors f est strictement différentiable en tout point de U.
Posons g(x)=f(x)-f(a)-f'(a).(x-a). Utilisant la continuité de f' en a, pour tout ε>0 il existe η>0 tel que pour tout y∈B(a,η) ||g'(y)||≤ε.
Il suffit alors d'utiliser ce théorème.
Il suffit alors d'utiliser ce théorème.
Il existe des applications strictement différentiables en un point sans que pour autant la dérivée soit continue en ce point (voir les exercices).
Cependant :
Si f est différentiable sur U (en tout point) et si f est strictement différentiable en a alors f' est continue en a.
Soit ε>0 et η>0 tels que h=f-f'(a) soit ε-lipschitzienne dans B(a,η), la preuve résulte maintenant de ce lemme :
Si h est différentiable et k-lipschitzienne sur U alors ||h'(x)||≤k pour tout x de U.
En effet, de :
h'(x).u=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{h(x+tu)-h(x)}{t}
Nous tirons :
\left \| h'(x).u \right \|=\lim_{t\rightarrow 0}\left \| \frac{h(x+tu)-h(x)}{t} \right \|
Pour t assez petit x+tu∈U donc :
\left \| h(x+tu)-h(x) \right \|\leqslant k\left \| tu \right \|
et :
\left \| h'(x).u \right \|=\lim_{t\rightarrow 0}\left \| \frac{h(x+tu)-h(x)}{t} \right \|\leqslant k\left \| u \right \|
qui nous donne bien ||h'(x)||≤k.
h'(x).u=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{h(x+tu)-h(x)}{t}
Nous tirons :
\left \| h'(x).u \right \|=\lim_{t\rightarrow 0}\left \| \frac{h(x+tu)-h(x)}{t} \right \|
Pour t assez petit x+tu∈U donc :
\left \| h(x+tu)-h(x) \right \|\leqslant k\left \| tu \right \|
et :
\left \| h'(x).u \right \|=\lim_{t\rightarrow 0}\left \| \frac{h(x+tu)-h(x)}{t} \right \|\leqslant k\left \| u \right \|
qui nous donne bien ||h'(x)||≤k.