Les hypothèses et les notations restent celles de la page précédente. On suppose que E est un espace métrique, F étant un espace vectoriel normé, $\mathfrak{B}_{F}(E)$ désigne l'espace normé des fonctions bornées sur E et à valeurs dans F, muni de la norme $\left \| f \right \|=sup_{x\in E}\left \| f(x) \right \|$.
On considère maintenant le sous-ensemble $\mathfrak{C}_{F }^{\infty}(E)$ des fonctions continues bornées sur E et à valeurs dans F.
Ce théorème est démontré ici dans le cas où F=ℝ. Pour obtenir le résultat en toute généralité il suffit de composer avec la norme y → ||y|| de F dans ℝ qui est continue.
En outre :
De même si λ est un scalaire, λf est composée de f avec y → λy de F → F linéaire et continue.
Soit maintenant (fn) une suite d'applications continues bornées de E dans F qui converge vers g dans $\mathfrak{B}_{F}(A)$.
Pour tout ε>0, il existe donc un entier n0 tel que :
$$n\geqslant n_{0}\Rightarrow \left \| f_{n} -g\right \|\leqslant \varepsilon /3$$
Soit x0 un point quelconque de E et soit V un voisinage de x0 tel que
$$x\in V \Rightarrow \left \| f_{n_{0}}(x)-f_{n_{0}}(x_{0}) \right \|\leqslant \varepsilon /3$$
Alors comme $\left \| f_{n}(x)-g(x) \right \|\leqslant \varepsilon /3$ pour tout x∈E, on a $\left \| g(x)-g(x_{0}) \right \|\leqslant \varepsilon$ pour tout x de V, ce qui démontre la continuité de g en x0.
x0 étant un point quelconque la continuité de g s'ensuit.
Une limite simple de fonctions continues n'est par forcément continue, comme le montre l'exemple de la suite fn(x)=xn sur l'intervalle [0,1] qui converge simplement vers la fonction nulle en tout point de [0,1[ et valant 1 en x=1.
D'autre part, voir la page d'exercices pour un exemple de fonctions continues qui convergent non uniformément vers une fonction continue.
Cependant, nous avons le résultat suivant connu sous le nom de lemme de Dini, du nom du mathématicien Ulisse Dini
Pour tout ε>0 et tout x∈E il existe un entier n(x) tel que pour tout m≥n(x), g(x)-fm(x)≤ε/3.
Comme g et fn(x) sont continues, il existe un voisinage V(x) de x tel que :
$$x'\in V(x) \Rightarrow \left | g(x)-g(x') \right |\leqslant \varepsilon /3 \text { et }\left | f_{n(x)}(x)-f_{n(x)}(x') \right |\leqslant \varepsilon /3$$
Par suite pour tout x'∈V(x) on a g(x')-fn(x)(x')≤ε.
prenons maintenant un nombre fini de points xi dans E tels que les V(xi) recouvrent E et soit n0 le plus grand des entiers n(xi).
Alors, pour tout x∈E , x appartient à l'un des V(xi) donc :
$$n\geqslant n_{0}\Rightarrow g(x)-f_{n}(x)\leqslant g(x)-f_{n_{0}}(x)\leqslant g(x)-f_{n(x_{i})}(x)\leqslant \varepsilon $$
CQFD.