Les hypothèses et les notations restent celles des pages précédentes du même chapitre, mais nous supposons cette fois que E=E1×...×En et F=F1×...×Fm. Soit f: U → F une application continue et différentiable en a. Posons comme dans cette page fi=piof.
Alors les fi qui sont à valeurs dans Fi sont différentiables en a, et on en conséquence des dérivées partielles Djfi(a).
On a pour tout couple (i,j) ∈ {1,...m}×{1,...,n}
$$D_{j}f_{i}\left ( a \right )=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left ( a \right )\in \mathfrak{L}\left ( E_{j};F_{i} \right )$$
En combinant les résultats des deux pages précédentes on peut en outre écrire :
Considérons maintenant le cas particulier où F1=F2=...=Fm=E1=E2=...=En=K, K étant le corps de base (ℝ ou ℂ).
Les $\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left ( a \right )$ s'identifient à des nombres, constituant une matrice à m lignes et n colonnes. Le résultat qui précède exprime le fait que cette matrice est exactement la matrice de f'(a) par rapport aux bases canoniques de Kn et Km respectivement.
Ainsi si nous reprenons le théorème de dérivation des fonctions composées appliqué au cas où f est une application de Kn dans Km et où g est une application de Km dans Kp, nous obtenons les formules de calcul des dérivées partielles d'une fonction composée :
qui n'est autre que la formule de multiplication des matrices.