Combinaison des cas précédents

Les hypothèses et les notations restent celles des pages précédentes du même chapitre, mais nous supposons cette fois que E=E1×...×En et F=F1×...×Fm. Soit f: U → F une application continue et différentiable en a. Posons comme dans cette page fi=piof.
Alors les fi qui sont à valeurs dans Fi sont différentiables en a, et on en conséquence des dérivées partielles Djfi(a).
On a pour tout couple (i,j) ∈ {1,...m}×{1,...,n}
$$D_{j}f_{i}\left ( a \right )=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left ( a \right )\in \mathfrak{L}\left ( E_{j};F_{i} \right )$$
En combinant les résultats des deux pages précédentes on peut en outre écrire :

$$f'(a)=\sum_{i,j}^{ }u_{i} \circ \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(a) \circ q_{j}$$ où $$\begin{cases}q_{j}:E\rightarrow E_{j} \text { est la projection canonique} \\ u_{i}:F_{i}\rightarrow F \text { est l'injection canonique} \end{cases}$$

Considérons maintenant le cas particulier où F1=F2=...=Fm=E1=E2=...=En=K, K étant le corps de base (ℝ ou ℂ).
Les $\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left ( a \right )$ s'identifient à des nombres, constituant une matrice à m lignes et n colonnes. Le résultat qui précède exprime le fait que cette matrice est exactement la matrice de f'(a) par rapport aux bases canoniques de Kn et Km respectivement.

Cette matrice est appelée matrice jacobienne de f au point a. Lorsque m=n, le déterminant de cette matrice est appelé le jacobien de f au point a.

Ainsi si nous reprenons le théorème de dérivation des fonctions composées appliqué au cas où f est une application de Kn dans Km et où g est une application de Km dans Kp, nous obtenons les formules de calcul des dérivées partielles d'une fonction composée :

$$\frac{\partial (g \circ f)_{k}}{\partial x_{j}}(a)=\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial g_{k}}{\partial y_{i}}(f(a)).\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(a)$$

qui n'est autre que la formule de multiplication des matrices.

Exercices

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