Homéomorphismes

Définitions

De la même façon qu'en algèbre on donne une place particulière aux homomorphismes bijectifs (isomorphismes) qui permettent d'identifier les structures (les théorèmes sont souvent démontrés 'à un isomorphisme près'), nous allons aussi élaborer une notion équivalente en topologie avec une différence toutefois ; alors que les homomorphismes bijectifs transportent automatiquement les structures, les applications continues bijectives ne sont pas forcément bicontinues.

Une application f d'un espace topologique (E,$\mathfrak{T}$) dans un espace topologique (E',$\mathfrak{T'}$) est appelé un homéomorphisme si c'est une bijection continue, telle que f-1:E'→E soit également continue.

Ce qui suit résulte immédiatement de la définition:

Si f est un homéomorphisme, $f^{-1}$ en est un aussi. En outre si f et g sont des homéomorphismes $g \circ f$ en est un aussi.

Quelques exemples

  1. L'application identique de (E,$\mathfrak{T}$) dans lui-même est un homéomorphisme.
  2. L'application x→x3 est un homéomorphisme de $\mathbb{R}$ dans lui-même comme toutes les applications continues strictement monotones surjectives de $\mathbb{R}$ sur lui-même.
  3. Les isométries sont des homéomorphismes pour les topologies associées.
  4. Si (E,$\mathfrak{T}$) est un espace topologique et si E' est un ensemble quelconque, toute bijection f:E→E' peut être utilisée pour transporter la topologie de E sur E', en qualifiant d'ouvert de E' toute image par f d'un ouvert de E. f devient alors évidemment un homéomorphisme.

Cas des espaces métriques

Nous avons vu comment les espaces métriques fournissent naturellement des espaces topologiques via la définition des ouverts de ces espaces au moyen des boules. Il importe à ce niveau de bien distinguer entre les notions topologiques et les notions métriques.

Les notions de voisinage, ensemble fermé, point adhérent, adhérence, intérieur, extérieur, frontière, fonction continue, homéomorphisme, sont des notions topologiques.

Par contre, les notions de boule, sphère, diamètre, ensemble borné, fonction uniformément continue, isométrie, ne sont pas des notions topologiques, ce sont des notions métriques.

Les propriétés topologiques sont invariantes par les homéomorphismes. Cela signifie, par exemple, que si f est un homéomorphisme de (E,$\mathfrak{T}$) sur un espace topologique (E',$\mathfrak{T'}$), pour tout sous-ensemble F de E $f(\overline{F})=\overline{f(F))}$

Nous avons vu précédemment que des distances différentes peuvent induire la même topologie. Ce qui nous conduit à la notion de distances équivalentes sur un ensemble.

Deux distances d1 et d2 sur un même ensemble sont dites équivalentes ou plus exactement topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie sur E ou, autrement dit, si l'application identique $i:(E,d_{1})\rightarrow (E,d_{2})$ est un homéomorphisme.

Sur l'ensemble $\mathbb{R}$ si d est la distance usuelle d(x,y)=|x-y| d est équivalente à αd pour tout réel α>0, mais aussi à d/(1+d) mais elle n'est pas équivalente à la métrique discrète.

Exercices

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