E et F désignent des espaces de Banach et f:E→F une application que nous supposons différentiable en tous points d'un ouvert U de E. Nous avons alors la fonction dérivée f':x→f'(x) définie sur U et à valeurs dans $\mathfrak{L}(E;F)$ qui est un espace de Banach (voir par exemple cette page).
Cela a donc un sens de se demander si f' est à son tour différentiable en un point a∈U, si c'est le cas la dérivée de f' en a sera noté f''(a) encore D²f(a) et s'appelle la dérivée seconde de f.
Si maintenant f possède en tout point x une dérivée seconde D²f(x), on peut se demander si, à son tour D²f n'est pas différentiable donnant naissance à une dérivée troisième D³f, etc...
A priori se processus génère des espaces fonctionnels de plus en plus compliqués. Ainsi D²f est une fonction à valeurs dans $\mathfrak{L}(E;\mathfrak{L}(E,F))$. mais cet espace s'identifie à $\mathfrak{L}(E, E;F)$.
De la même façon, à une identification près, D³f est à valeurs dans $\mathfrak{L}(E;\mathfrak{L}(E, E;F))$, lequel s'identifie à $\mathfrak{L}(E, E, E;F)$ (voir ce théorème) et ainsi de suite.
Plan du chapitre :

• Dérivée seconde
• Cas où E est un produit
• Dérivées successives
• Exemples de fonctions n fois différentiables
• Formule de Taylor : cas particulier
• Formule de Taylor : cas général
• Exercices