Les définitions sont tout à fait identiques au cas de l'espace $\mathbb{R}$.
Soit E un espace normé. Un couple de suites (xn)n∈$\mathbb{N}$, (sn)n∈$\mathbb{N}$, est appelée une série si les éléments xn et sn sont liés par les relations $s_{n}=\sum_{i=0}^{n}x_{i}$. xn est appelé le terme d'ordre n de la série, et sn la somme partielle d'ordre n de la série. Une telle série sera souvent appelée la série de terme général xn, ou plus simplement la série (xn).
On dit que la série de terme général xnconverge vers l'élément s de E si s=limn→∞sn (revoir la page sur les limites). s est alors appelé la somme de la série et on écrit s=x0+x1+...+xn+... ou encore $s=\sum_{n=0}^{\infty }x_{n}$. rn=s-sn est appelé le reste d'ordre n de la série ; c'est la somme de la série ayant pour terme d'ordre k xn+k ; par définition limn→∞rn=0.
Il résulte de cette définition que toute série dont les termes sont tous nuls sauf pour un nombre fini d'indices est convergente et que sa somme est égale à la somme finie de tous ses termes non nuls.
Notons bien que la convergence d'une série dépend, en général, de l'ordre des termes. C'est à dire que si σ est une permutation de l'ensemble $\mathbb{N}$, si xn est le terme général d'une série dans un espace normé et si on pose pour tout n yn=xσ(n), la convergence de la série (xn) n'entraîne nullement la convergence de la série (yn). On peut exprimer cela en disant qu'il n'y a pas de théorème de commutativité étendue pour les séries infinies.
Nous avons même vu dans le cours d'initiation à l'analyse réelle, avec l'exemple de la série harmonique alternée, que certaines séries convergentes de nombres réels pouvaient être réordonnées de façon à ce qu'elles convergent vers n'importe quelle somme donnée à l'avance ou bien de façon à ce qu'elles divergent vers +∞ ou bien -∞.
Une série (xn) qui reste convergente et toujours de même somme quelle que soit la permutation σ de ses termes sera dite commutativement convergente.
Critère de Cauchy
Si la série de terme général xn est convergente, alors pour tout ε>0, il existe un entier n0 tel que pour n≥n0 et tout p≥0, on ait ||sn+p-sn||=||xn+1+...+xn+p||≤ε. Réciproquement, si cette condition est satisfaite et si l'espace E est complet (est un espace de Banach), alors la série de terme général xn est convergente.
Ceci n'est autre que l'application du critère de Cauchy à la suite (sn).
Quelques résultats évidents
Si les séries (xn) et (x'n) sont toutes deux convergentes et ont pour sommes s et s' respectivement alors la série
(xn+x'n) converge vers s+s' et pour tout scalaire λ la série (λxn) converge et a pour somme λs.
Cela résulte des définitions précédentes et de la continuité des applications somme et produit par un scalaire.
Si (xn) et (x'n) sont deux séries telles que xn=x'n sauf pour un nombre fini d'indices alors elles sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.
En effet la série (xn-x'n) est convergente puisque ses termes sont tous nuls sauf pour un nombre fini d'indices.
Soit (kn) une suite d'entiers positifs strictement croissante avec k0=0. Si la série (xn) converge vers s, et si $y_{n}=\sum_{p=k_{n}}^{k_{n+1}-1}x_{p}$ alors la série (yn) converge aussi vers s.
Cela résulte immédiatement de la relation $\sum_{i=0}^{n}y_{i}=\sum_{j=0}^{k_{n+1}-1}x_{j}$ et du fait que les sommes partielles de la série (yn) forment donc une suite extraite de la suite des sommes partielles de la série (xn)
Séries absolument convergentes
Nous supposons ici connue la théorie des séries à termes réels positifs, ainsi que la théorie des séries absolument convergentes de nombres réels. Le but est de généraliser cette théorie aux séries à valeurs dans un espace de Banach, donc en particulier d'obtenir un critère de convergence pour ces séries, et même un critère de convergence commutative.
Une série (xn) dans un espace normé est dite absolument convergente si la série (réelle) de terme général ||xn|| est convergente.
Pour des critères d'absolue convergence, nous pouvons en particulier appliquer les résultats concernant les séries à termes positifs ; nous en rappelons un particulièrement important.
Une condition nécessaire et suffisante pour que la série de terme général xn soit absolument convergente est que les sommes partielles $s_{n}=\sum_{i=0}^{n}||x_{i}||$ soient bornées.
Le résultat le plus important est le suivant :
Dans un espace de Banach toute série absolument convergente est convergente.
En effet si q>p on a d'après l'inégalité du triangle $||s_{q}-s_{p}||\leq \sum_{i=p+1}^{q}||x_{i}||$. Comme la série des normes est convergente, elle satisfait au critère de Cauchy, donc en vertu de cette inégalité, la suite des sommes partielles vérifie aussi le critère de Cauchy et est donc convergente.
Nous avons de plus :
Dans un espace de Banach, toute série absolument convergente est commutativement convergente.
Soit donc σ une permutation de $\mathbb{N}$ et posons yn=xσ(n). Posons $s_{n}=\sum_{i=0}^{n}x_{i}$ et $s'_{n}=\sum_{i=0}^{n}y_{i}$. Pour tout n soit m le plus grand entier de l'ensemble σ({0;1; ...,n}); alors par définition de m $\sum_{k=0}^{n}||y_{k}||\leq \sum_{i=0}^{m}||x_{i}||$ et (yn) est donc absolument convergente. De plus, pour tout ε>0 soit n0 tel que $||x_{n+1}||+...+||x_{n+p}||\leq \epsilon$ pour n≥n0 et p≥0. Alors si m0 est le plus grand entier de σ({0,...,n0}), on a $||y_{n+1}||+...+||y_{n+p}||\leq \epsilon$ pour m≥m0 et p≥0 ; de plus la différence s'm0-sn0 est somme de termes xj avec j>n0 donc $||s'_{m_{0}}-s_{n_{0}}||\leq \epsilon$ ; par suite pour n≥sup(n0,m0) ||s'n-sn||≤3ε, ce qui prouve que s=s'.
Application
$\mathbb{C}$ est un espace de Banach réel dimension 2 avec la norme ||z||=|z| (module de z). Donc une condition suffisante pour qu'une série à termes complexes (zn) soit convergente est que la série des modules (|zn|) soit elle-même convergente.
