La présentation de la différentielle d'une fonction en une point de façon 'globale' comme une application linéaire, permet de formuler le théorème sur la différentielle d'une composée de façon simple et naturelle :
"les différentielles se composent comme les applications".
Les traités anciens donnaient des règles complexes de calcul de dérivées partielles qui ne sont, on le verra, que des règles de multiplication matricielle.
Nous faisons les hypothèses suivantes :
E,F,G sont trois espaces de Banach. U est un ouvert de E et a un point de U. f est une application de U dans E continue. g est une application continue de V dans G, et le point b=f(a) est un point de V.
Dans ces conditions l'application gof est définie et continue dans le voisinage U'=U∩f-1(V) de a. Ainsi la question de sa dérivabilité en a peut être posée.
h′(a)=g′(b)∘f′(a)
f(x)=f(a)+f′(a).(x−a)+φ(x−a)
où φ est une application tangente à 0 à l'origine, c'est à dire :
‖
g(y)=g(b)+g'(b).(y-b)+\psi (y-b) \tag{3}
où ψ est une application tangente à 0 à l'origine, c'est à dire :
\left \| \psi (y-b) \right \|=o(\left \| y-b \right \|)
Evaluons alors h(x)-h(a) =g(f(x))-g(f(a)). Appliquons (3) en remplaçant remplaçant y par f(x) et b par f(a), on obtient :
h(x)-h(a)=g'(f(a)).(f(x)-f(a))+\psi(f(x)-f(a))
Dans cette relation remplaçons f(x)-f(a) par sa valeur tirée de (2), en tenant compte de la linéarité de g'(f(a)), il vient :
h(x)-h(a)=g'(b)\circ f'(a).(x-a)+g'(b).\varphi (x-a)+\psi(f(x)-f(a))Pour prouver que h est différentiable au point a et a pour dérivée g'(b)of'(a),
il suffit de montrer que le second et le troisième terme du membre de droite sont tangents à 0, c'est à dire que :
\left \| g'(b).\varphi (x-a) \right \|=o(\left \| x-a \right \|) \tag{4}
\left \| \psi(f(x)-f(a)) \right \|=o(\left \| x-a \right \|) \tag{5}
Or (4) résulte de :
\left \| g'(b).\varphi(x-a) \right \|\leqslant \left \| g'(b) \right \|.\left \| \varphi (x-a) \right \|
Et (5) résulte du fait que :
\left \| \psi(f(x)-f(a)) \right \|=o(\left \| f(x)-f(a) \right \|)
et du fait que, en vertu de (2), l'inégalité
\left \| f(x)-f(a) \right \|\leqslant M.\left \| x-a \right \|
Où M est un nombre quelconque > ||f'(a)|| est vraie pour ||x-a|| suffisamment petit, comme cela résulte de (2).
L'égalité (1) est ainsi démontrée.