Exercices sur les C1-difféomorphismes
Soit h l'application de ℝ2 dans ℝ2 définie par h(x,y)=(excos(y),exsin(y)).
Montrer que h est de classe C1 et que pour tout couple (x,y) Dh(x,y)∈Isom(ℝ2,ℝ2), mais que h n'est pas un homéomorphisme de ℝ2 sur h(ℝ2)
Montrer que h est de classe C1 et que pour tout couple (x,y) Dh(x,y)∈Isom(ℝ2,ℝ2), mais que h n'est pas un homéomorphisme de ℝ2 sur h(ℝ2)
Considérer les fonctions coordonnées de h, ainsi que le jacobien.
Les fonctions coordonnées de h sont des produits de composées de fonctions indéfiniment différentiables, par exemple h1(x,y)=excos(y) est le produit de f1(x,y)=ex avec g1(x,y)=cos(y).
Mais f1 est composée de (x,y)→x avec la fonction exponentielle.
De la même façon g1 est composée de (x,y)→y avec la fonction cosinus.
f1 et g1 sont donc indéfiniment différentiables et il en va de même pour leur produit h1.
le raisonnement est le même pour h2(x,y)=exsin(y).
En tout point (x,y) le jacobien de h est ex donc non nul, cela prouve que Dh(x,y)∈ Isom(ℝ2,ℝ2).
h n'est pas un C1-difféomorphisme de ℝ2 sur son image car h n'est pas un homéomorphisme, car h n'est pas injective h(x,y+2π)=h(x,y)
Mais f1 est composée de (x,y)→x avec la fonction exponentielle.
De la même façon g1 est composée de (x,y)→y avec la fonction cosinus.
f1 et g1 sont donc indéfiniment différentiables et il en va de même pour leur produit h1.
le raisonnement est le même pour h2(x,y)=exsin(y).
En tout point (x,y) le jacobien de h est ex donc non nul, cela prouve que Dh(x,y)∈ Isom(ℝ2,ℝ2).
h n'est pas un C1-difféomorphisme de ℝ2 sur son image car h n'est pas un homéomorphisme, car h n'est pas injective h(x,y+2π)=h(x,y)
Exercices sur les fonctions strictement différentiables
Soit h la fonction en escalier définie sur ]-1,+1[ et à valeurs dans ℝ définie par les conditions suivantes :
- h est paire
- h(x)=$\frac{1}{n+1}$ si x∈$[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}[$, n entier positif strictement.
- h(0)= 0
Posons maintenant pour tout x∈]-1,+1[ :
$$f(x)=\int_{0}^{x}h(t)dt$$
Montrer que f est strictement différentiable en 0.
f' est-elle continue en 0 ?
Montrer que |h(t)|≤ε sur ]-ε,+ε[.
de |h(t)|≤ε sur ]-ε,+ε[ nous tirons que f est ε-lipschitzienne sur ]-ε,+ε[. f est donc strictement différentiable en 0.
f' n'est pas continue en 0 car f n'est différentiable en aucun point de la forme 1/n avec n entier, n>0.
f' n'est pas continue en 0 car f n'est différentiable en aucun point de la forme 1/n avec n entier, n>0.
Exercices sur le théorème d'inversion locale
Montrer que l'application φ(r,θ)→(x,y) avec x=r.cos(θ) y=r.sin(θ) est un C1-difféomorphisme de l'ouvert $\mathbb{R}_{+}^{*}$×]-π,+π[ sur le plan ℝ2 privé de la demi-droite $\mathbb{R}_{-}$.
Calculer le jacobien de φ
La matrice jacobienne de φ au point (r,θ) est :
$$\begin{pmatrix}cos(\theta ) & -r.sin(\theta )\\ sin(\theta ) & r.cos(\theta )\end{pmatrix}$$
Le jacobien est donc :
$$\begin{vmatrix}cos(\theta ) & -r.sin(\theta )\\ sin(\theta ) & r.cos(\theta )\end{vmatrix}=r$$
Il suffit donc de montrer que l'application est bijective, mais c'est un résultat connu depuis longtemps (coordonnées polaires)
$$\begin{pmatrix}cos(\theta ) & -r.sin(\theta )\\ sin(\theta ) & r.cos(\theta )\end{pmatrix}$$
Le jacobien est donc :
$$\begin{vmatrix}cos(\theta ) & -r.sin(\theta )\\ sin(\theta ) & r.cos(\theta )\end{vmatrix}=r$$
Il suffit donc de montrer que l'application est bijective, mais c'est un résultat connu depuis longtemps (coordonnées polaires)
Soit U le plan privé de l'origine. on considère l'application f:U→ℝ2 définie par f(x,y)=(x2-y2,2xy).
Montrer que f est en tout point un difféomorphisme local mais n'est pas un difféomorphisme global.
Montrer que f est en tout point un difféomorphisme local mais n'est pas un difféomorphisme global.
Calculer le jacobien de f.
le jacobien de f vaut 2(x2+y2) et est donc non nul en tout point de U. f ne peut pas être un C1-difféomorphisme global parce que f n'est pas injective puisque f(-x,-y)=f(x,y). f n'est donc pas un homéomorphisme de U sur son image.
Exercices sur les fonctions implicites
Soit f:ℝ3→ℝ2 définie par f(x,y,z)=(x2-y2+z2,1-xyz).
Soit (x0,y0,z0)∈ℝ3 tel que f(x0,y0,z0)=0.
Montrer qu'il existe un intervalle I contenant x0 et une fonction φ:I→ℝ2, telle que :
φ(x0)=(y0,z0) et f(x,φ(x))=0 ∀x∈I
Soit (x0,y0,z0)∈ℝ3 tel que f(x0,y0,z0)=0.
Montrer qu'il existe un intervalle I contenant x0 et une fonction φ:I→ℝ2, telle que :
φ(x0)=(y0,z0) et f(x,φ(x))=0 ∀x∈I
Considérer f comme fonction de 2 variables (x,Y) f:ℝ×ℝ2→ℝ2, et calculer la dérivée partielle de f par rapport à Y=(y,z).
La matrice jacobienne de D2f(x0,Y0) est :
$$D2f(x_{0},Y_{0})=\begin{pmatrix}-2y_{0} & 2z_{0} \\ x_{0}z_{0}& x_{0}y_{0} \end{pmatrix}$$
Le jacobien de D2f(x0,Y0) est :
$$\begin{vmatrix}-2y_{0} & 2z_{0} \\ x_{0}z_{0}& x_{0}y_{0} \end{vmatrix}= -2x_{0} (y_{0}^{2}+z_{0}^{2})$$
Or ce jacobien est non nul car f(x0,y0,z0)=0 implique x0y0z0=1 donc x0≠0, y0≠0, z0≠0.
Il suffit donc d'appliquer le théorème des fonctions implicites.
$$D2f(x_{0},Y_{0})=\begin{pmatrix}-2y_{0} & 2z_{0} \\ x_{0}z_{0}& x_{0}y_{0} \end{pmatrix}$$
Le jacobien de D2f(x0,Y0) est :
$$\begin{vmatrix}-2y_{0} & 2z_{0} \\ x_{0}z_{0}& x_{0}y_{0} \end{vmatrix}= -2x_{0} (y_{0}^{2}+z_{0}^{2})$$
Or ce jacobien est non nul car f(x0,y0,z0)=0 implique x0y0z0=1 donc x0≠0, y0≠0, z0≠0.
Il suffit donc d'appliquer le théorème des fonctions implicites.
Soit f:ℝ2→ℝ la fonction f(x,y)=x2+y2-1.
Démontrer que pour x suffisamment proche de 0, il existe un unique y=y(x)>0 tel que f(x,y(x))=0.
Vérifier, sans résolution explicite que y'(x)=-x/y(x).
Calculer explicitement y(x).
Démontrer que pour x suffisamment proche de 0, il existe un unique y=y(x)>0 tel que f(x,y(x))=0.
Vérifier, sans résolution explicite que y'(x)=-x/y(x).
Calculer explicitement y(x).
Appliquer le théorème des fonctions implicites au voisinage d'un point bien choisi.
Il suffit d'appliquer le théorème des fonctions implicites au voisinage de (0,1).
En dérivant par rapport à x la relation x2+y2-1=0 on obtient 2x+2yy'=0 soit y'=-x/y.
$$y=\sqrt{1-x^{2}}$$
En dérivant par rapport à x la relation x2+y2-1=0 on obtient 2x+2yy'=0 soit y'=-x/y.
$$y=\sqrt{1-x^{2}}$$