Espaces topologiques

Définitions

Nous partons maintenant des propriétés des ouverts d'un espace métrique pour définir les espaces topologiques.

Un espace topologique consiste en la donnée d'un ensemble E et d'une famille $\mathfrak{T}$ de parties de E, vérifiant les axiomes suivants:

  • ∅ ∈ $\mathfrak{T}$ et E ∈ $\mathfrak{T}$
  • Toute intersection finie d'éléments de $\mathfrak{T}$ est encore un élément de $\mathfrak{T}$.
  • Toute réunion quelconque (finie ou non) d'éléments de $\mathfrak{T}$ est encore un élément de $\mathfrak{T}$.

Les éléments de $\mathfrak{T}$ sont appelés les ouverts de la topologie.
Formellement un tel espace topologique se notera (E,$\mathfrak{T}$).

Formellement une topologie est donc un élément de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de E, donc $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(E))$.

Soit E un ensemble et $\mathfrak{T}$ et $\mathfrak{T'}$ deux topologies sur E. On dit que $\mathfrak{T}$ est plus fine que $\mathfrak{T'}$ si tout élément de $\mathfrak{T'}$ est un élément de $\mathfrak{T}$, autrement dit si tout ouvert de (E,$\mathfrak{T}$) est un ouvert de (E,$\mathfrak{T'}$), soit encore plus simplement $\mathfrak{T'}$ ⊆ $\mathfrak{T}$

On obtient ainsi une relation d'ordre sur l'ensemble des topologies sur E.

Exemples

Soit (E,d) un espace métrique et soit $\mathfrak{T}$ l'ensemble des ouverts de E au sens de la métrique, alors (E,$\mathfrak{T}$) est un espace topologique de sorte que tout espace métrique induit un espace topologique sous-jacent.

Si E est un ensemble quelconque on obtient une topologie 'minimale' sur E en prenant comme ouverts les deux parties ∅ et E seulement. Il s'agit d'une topologie appelée la topologie grossière. Cette topologie est évidemment la moins fine de toutes les topologies sur E.

Inversement si nous prenons pour famille l'ensemble $\mathfrak{P}$(E) de toutes les parties de E, nous obtenons également une topologie sur E qui est la plus fine possible, l'espace topologique obtenu (E,$\mathfrak{T}$) s'appelle l'espace discret. Dans un espace discret, tout sous-ensemble est donc par définition ouvert. La topologie discrète, à l'inverse de la topologie grossière, est la plus fine des topologies sur E.

Axiome de séparation

Soit (E,$\mathfrak{T}$) un espace topologique. On dit que (E,$\mathfrak{T}$) est un espace séparé s'il vérifie l'axiome suivant (appelé axiome de séparation de Hausdorff) :
Pour tout couple (x,y) de points distincts de E il existe un ouvert U de $\mathfrak{T}$ contenant x et un ouvert V de $\mathfrak{T}$ contenant y tels que U ∩ V = ∅
Tout espace métrique est séparé.

En effet si x et y sont deux éléments distincts de E et si a=d(x,y) si U=B(x,a/3) et V=B(y,a/3), U et V sont des ouverts disjoints contenant x et y respectivement.

La topologie discrète est séparée, mais la topologie grossière ne l'est pas.

Lien avec les espaces métriques

Nous avons vu que la donnée d'une distance définit un espace topologique, tout espace métrique possède donc un espace topologique implicite sous-jacent.

Cependant il est facile de voir que la réciproque n'est pas vraie, comme le montre la topologie grossière qui, n'étant pas séparée, ne peut dériver d'aucune distance.

On peut remarquer par contre que la topologie discrète, donnée en exemple ici, dérive de la la distance d8 donnée en exemple elle même appelée distance discrète

Cela dit il peut arriver que deux distances distinctes sur un même ensemble E induisent la même topologie sur E. C'est par exemple le cas pour la distance d5 donnée en exemple et la distance d6 donnée en exemple.

Nous laissons la démonstration à titre d'exercice.

Bases

Dans un espace topologique (E, $\mathfrak{T}$), une famille (Gλ)λ∈L d'ensembles ouverts non vides est appelée une base pour les ensembles ouverts de (E, $\mathfrak{T}$), si chaque ensemble ouvert non vide de E est réunion d'une sous-famille de la famille (Gλ).

Par exemple, dans les espaces métriques, les boules ouvertes forment une base pour les ensembles ouverts. Dans les espaces discrets, les singletons forment une base.

Prébases

Soit maintenant E un ensemble quelconque et P une famille de parties de E, également quelconque.

Il existe une topologie sur E et une seule $\mathfrak{T}$ admettant les ensembles de P pour ouverts et qui est la moins fine de toutes les topologies ayant cette propriété. $\mathfrak{T}$ est appelée topologie engendrée par P. P est appelée une prébase pour $\mathfrak{T}$.
Il existe des topologies sur E admettant tous les ensembles de P pour ouverts, par exemple la topologie discrète en est une. $\mathfrak{T}$ sera alors l'intersection de toutes ces topologies dont on vérifie immédiatement qu'il s'agit encore d'une topologie.

Exercices

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