Désormais, E et f désignent deux espaces de Banach, U est un ouvert de E.
On considère une application f:U→F.
Soient a et a+h deux points de U tels que le segment [a,a+h] soit contenu dans U, sera sera toujours le cas, par exemple, si U est supposé convexe. En outre, U étant supposé ouvert ce sera toujours le cas si ||h|| est suffisamment petit.
Considérons la fonction :
$$v(t)=f(a+th) \text{ , } t\in [0,1]$$
Si f est n+1 fois différentiable, alors v est n+1 fois différentiable (théorème de dérivation des fonctions composées) et on calcule immédiatement les dérivées successives de v :
$$v'(t)=f'(a+th).h)$$
$$v''(t)=(f''(a+th).h).h=f''(a+th).(h,h)$$
Nous appliquons ici les notations introduites dans cette page.
D'une manière générale, on voit par récurrence que :
$$v^{(n)}(t)=f^{(n)}(a+th).(h,...,h)\tag{1}$$
Pour abréger on conviendra de noter (h)n l'élément (h,...,h) de En.
Nous pouvons maintenant énoncer la formule de Taylor avec reste intégral :
$$f(a+h)=f(a)+f'(a).h+\frac{1}{2}f''(a).(h)^{2}+...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(a).(h)^{n}+\int_{0}^{1}\frac{(1-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(a+th).(h)^{n+1}dt \tag{2}$$
Nous pouvons également énoncer la formule de Taylor avec reste de Lagrange :
$$\left \| f^{(n+1)}(x) \right \|\leqslant M \text{ pour }x\in U \tag{3}$$
Alors :
$$\left \| f(a+h)-f(a)-f'(a).h-...-\frac{1}{n!}f^{(n)}(a).(h)^{n} \right \|\leqslant M\frac{\left \| h \right \|^{n+1}}{(n+1)!} \tag{4}$$
$$\left \| v^{n+1}(t) \right \|=\left \| f^{(n+1)}(a+th).(h)^{n+1} \right \|$$
Par la propriété de la norme d'une application (n+1)-linéaire continue, ceci est majoré par $\left \| f^{(n+1)}(a+th) \right \|.\left \| h \right \|^{n+1}$.
Par l'hypothèse (3) ceci est majoré par $M.\left \| h \right \|^{n+1}$. Il suffit alors d'appliquer ce corollaire, où M serait remplacé par $M.\left \| h \right \|^{n+1}$.
Voilà donc deux formules dites 'de Taylor'. on peut en déduire ne troisième dans (4), on voit que si ||-h||→ 0, le second membre est o(||h||n), donc le premier membre aussi. cependant ce résultat a été obtenu avec l'hypothèse que f a une dérivée d'ordre n+1 bornée au voisinage de a. On peut en fait affaiblir ces hypothèses.
Voici l'énoncé de la formule de Taylor-Young :
$$\left \| f(a+h)-f(a)-f'(a).h-...-\frac{1}{n!}f^{(n)}(a).(h)^{n} \right \|=o\left ( \left \| h \right \|^{n} \right ) \tag{5}$$
$$\varphi (h)=f(a+h)-f(a)-f'(a).h - ... - \frac{1}{n!}f^{(n)}(a).(h)^{n} \tag{6}$$
Calculons sa dérivée. Pour cela cherchons d'abord la dérivée de la fonction h→f(n)(a).(h)n; cette dérivée est, pour chaque valeur de h un élément de $\mathfrak{L}(E;F)$, c'est à dire une fonction linéaire de e dans F.
Comme f(n)(a) est une application n-linéaire En→F, ce résultat nous donne sa dérivée pour la valeur (h)n de la variable : c'est l'applicaion linéaire :
$$k\rightarrow f^{(n)}(a).(k,h,...,h)+f^{(n)}(a).(h,k,...,h)+ ...+f^{(n)}(a).(h,h,...,k)$$
Mais comme f(n)(a) est symétrique c'est aussi :
$$k\rightarrow nf^{(n)}(a).(h,h,...,k)$$
On peut interpréter cela comme suit : considérons f(n)(a) comme la dérivée (n-1)-ième de f':U→$\mathfrak{L}(E;F)$
Donc avec nos notations sa valeur sur le multivecteur (h,...,h) est l'élément f(n)(a).(h)n-1 de $\mathfrak{L}(E;F)$.
Alors on voit que la dérivée de la fonction :
$$h\rightarrow \frac{1}{n!}f^{(n)}(a).(h)^{n} $$
application de E dans F, est :
$$h\rightarrow \frac{1}{(n-1)!}f^{(n)}(a).(h)^{n-1}$$
application de E dans $\mathfrak{L}(E;F)$.
Cela étant dit la dérivée de la fonction φ définie par (6) est :
$$\varphi '(h)=f'(a+h)-f'(a)- ... -\frac{1}{(n-1)!} f^{(n)}(a).(h)^{n-1}$$
En appliquant l'hypothèse de récurrence à la fonction f', il vient :
$$\left \| \varphi '(h) \right \|=o\left ( \left \| h \right \|^{n-1} \right ) $$
Autrement dit, pour tout ε>0 il existe η>0 tel que :
$$\left \| h \right \|\leqslant \eta \text{ entraine } \left \| \varphi '(h) \right \|\leqslant \varepsilon \left \| h \right \|^{n-1}$$
L'inégalité des accroissements finis entraîne alors :
$$\left \| \varphi (h)-\varphi (0) \right \|\leqslant \varepsilon \left \| h \right \|^{n} \text{ pour }\left \| h \right \|\leqslant \eta $$
Mais sachant que φ(0)=0, on a donc :
$$\left \| \varphi (h) \right \|=o\left ( \left \| h \right \|^{n} \right )$$
Ce qui est justement la relation (5) à démontrer.