Les notations restent celles des pages précédentes du même chapitre.
Applications constantes
Nous commençons par un résultat évident :
Si f:U → F est une application constante, elle est différentiable en tout point de U et sa dérivée f'(x) est nulle ∀x∈U.
Nous verrons un peu plus loin que ce théorème possède une réciproque pour peu qu'on fasse sur U une hypothèse supplémentaire de connexité.
Ce résultat, joint à la linéarité de la dérivée, entraîne le corollaire suivant :
Si f est différentiable en a et si k est une constante k∈F, alors f+k est différentiable en a et de dérivée f'(a).
Applications linéaires
Le résultat suivant découle immédiatement des définitions :
Si f: E → F est une application linéaire continue, alors f est différentiable en tout point de E et f'(x)=f, sa dérivée est donc constante.
Applications multilinéaires
Nous considérons maintenant le cas où E est un produit de deux espaces de Banach E=E1×E2 et où f est une application bilinéaire continue.
Nous avons alors le théorème suivant :
Si F: E1×E2 → F est une application bilinéaire continue, f est partout différentiable et a dérivée au point (a1,a2) est définie par :
$$f'(a_{1},a_{2}).(h_{1},h_{2})=f(h_{1},a_{2})+f(a_{1},h_{2})$$
$$f'(a_{1},a_{2}).(h_{1},h_{2})=f(h_{1},a_{2})+f(a_{1},h_{2})$$
$$f(a_{1}+h_{1},a_{2}+h_{2})-f(a_{1},a_{2})=f(h_{1},a_{2})+f(a_{1},h_{2})+f(h_{1},h_{2})$$
On rappelle la définition de la norme d'un espace produit ainsi que la caractérisation des applications multilinéaires continues.
Alors si ||(h1,h2)|| ≤ ε on a ||f(h1,h2)||≤||f||ε2, ce qui prouve notre assertion.
On rappelle la définition de la norme d'un espace produit ainsi que la caractérisation des applications multilinéaires continues.
Alors si ||(h1,h2)|| ≤ ε on a ||f(h1,h2)||≤||f||ε2, ce qui prouve notre assertion.
Le résultat précédent se généralise immédiatement à un produit fini d'espaces de Banach.
Si f : E1×E2×...×En → F est une application multilinéaire continue, alors f est partout dérivable et
$$f'(a_{1},a_{2},...,a_{n}).(h_{1},h_{2},...,h_{n})=f(h_{1},a_{2},...,a_{n})+f(a_{1},h_{2},...,a_{n})+...+f(a_{1},a_{2},...,a_{n-1},h_{n})$$
$$f'(a_{1},a_{2},...,a_{n}).(h_{1},h_{2},...,h_{n})=f(h_{1},a_{2},...,a_{n})+f(a_{1},h_{2},...,a_{n})+...+f(a_{1},a_{2},...,a_{n-1},h_{n})$$
Inversion
Soient E et F deux espaces de Banach. Notons Isom(E;F) le sous-ensemble de $\mathfrak{L}(E,F)$ formé des isomorphismes E→F, c'est à dire des applications linéaires continues bijectives de E dans F.
Alors :
Alors :
- Isom(E,F) est ouvert dans $\mathfrak{L}(E,F)$.
- L'application φ: u→u-1 de Isom(E;F) dans Isom(F;E) est continue
- L'application φ ci-dessus est différentiable et sa dérivée est donnée par :
$$\varphi '(u).h= -u^{-1}\circ h\circ u^{-1} \tag{4}$$ - L'application φ est de classe C1 sur Isom(E;F).
- La proposition est trivialement vraie si Isom(E;F) est vide. Si maintenant Isom(E;F) est non vide prenons un u0 inversible, nous devons montrer que pour tout u assez voisin de u0, u est encore inversible.
Or pour que u soit un isomorphisme, il faut et il suffit que (u0)-1ou :E→E soit un isomorphisme.
Posons (u0)-1ou = 1-v où 1 désigne l'application identique de E dans E.
D'après ce théorème il suffit que ||v||<1. Or v=u0-1(u0-u), d'où :
$$\left \| v \right \|\leqslant \left \| u_{0}^{-1} \right \|.\left \| u-u_{0} \right \| \tag{1}$$
Donc si :
$$\left \| u-u_{0} \right \|< \frac{1}{\left \| u_{0}^{-1} \right \|}$$
on est sûr que u est inversible. -
On a :
$$u^{-1}=\left ( u_{0}\left ( 1-v \right ) \right )^{-1}=\left ( 1-v \right )^{-1}\left ( u_{0} \right )^{-1}$$
D'où :
$$u^{-1}-u_{0}^{-1}=\left ( \left ( 1-v \right )^{-1}-1 \right )u_{0}^{-1} \tag{2}$$
Or :
$$\left ( 1-v \right )^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty }v^{n} \text{ soit }\left ( 1-v \right )^{-1}-1=\sum_{n=1}^{\infty }v^{n}$$
D'où nous tirons :
$$\left \| \left ( 1-v \right )^{-1}-1 \right \|\leqslant \sum_{n=1}^{\infty }\left \| v \right \|^{n}=\frac{\left \| v \right \|}{1-\left \| v \right \|}$$
Ainsi (2) entraîne :
$$\left \| u^{-1}-u_{0}^{-1} \right \|\leqslant \left \| u_{0}^{-1} \right \|.\frac{\left \| v \right \|}{1-\left \| v \right \|} \tag{3} $$
Ainsi lorsque u tend vers u0, ||v|| tend vers 0 donc u-1 tend vers u0-1 et φ est continue comme annoncé. -
Pour démontrer (4) donnons à u un accroissement h.
$$\varphi (u+h)-\varphi (u)=(u+h)^{-1}-u^{-1}=(u+h)^{-1}\circ \left ( u-(u+h) \right )\circ u^{-1}=-(u+h)^{-1} \circ h \circ u^{-1}$$
Pour démontrer le résultat il suffit de montrer que u étant fixé dans Isom(E;F) la différence entre (u+h)-1ohou-1 et la fonction linéaire en h u-1ohou-1 est o(||h||).
Or :
$$\left ( u+h \right )^{-1} \circ h \circ u^{-1}-u^{-1 }\circ h \circ u^{-1}=\left ( \left ( u+h \right )^{-1}-u^{-1} \right ) \circ h \circ u^{-1}$$
D'où :
$$||\left ( u+h \right )^{-1} \circ h \circ u^{-1}-u^{-1 }\circ h \circ u^{-1}||\leqslant ||\left ( \left ( u+h \right )^{-1}-u^{-1} \right )||.|| u^{-1}||.|| h|| $$
Il suffit donc de montrer que $\left \| (u+h)^{-1}-u^{-1} \right \|$ tend vers 0 quand h tend vers 0; or il en est bien ainsi puisque nous avons déjà montré que φ est continue. -
Nous avons ainsi prouvé que φ est différentiable et que sa dérivée est donnée par la formule (4).
Pour démontrer que φ est de classe C1, il suffit de montrer que
$$\varphi ': Isom(E;F)\rightarrow \mathfrak{L}\left ( \mathfrak{L}(E;F); \mathfrak{L}(E;F) \right )$$
est continue.
Introduisons pour cela une notation : pour v∈$\mathfrak{L}(F;E)$ et w∈$\mathfrak{L}(F;E)$, notons ψ(v,w) l'application linéaire :
$$h\rightarrow - v\circ h\circ w \text { de } \mathfrak{L}(E;F) \text { dans } \mathfrak{L}(F;E)$$
Alors (4) montre que φ'(u)=ψ(u-1,u-1) or ψ est bilinéaire et continue car ||ψ(v,w).h||≤||v||.||h||.||w||.
et φ' est continue car composée de u→(u-1,u-1), continue, avec ψ.