Voici l'énoncé du théorème principal :
Soit I=[a,b] un intervalle compact de ℝ, f une application continue de I dans un espace de Banach F, φ une application continue de I dans ℝ. On suppose qu'il existe une partie au plus dénombrable D de I telle que, pour tout x ∈I-D, f et φ aient toutes deux une dérivée en x par rapport à I, et que ||f'(x)||≤φ'(x).
Alors ||f(b)-f(a)||≤φ(b)-φ(a).
Alors ||f(b)-f(a)||≤φ(b)-φ(a).
Soit n → xn une surjection croissante de ℕ sur D ; on va démontrer que, pour tout ε>0
$$\left \| f(b)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (b)-\varphi (a)+\varepsilon \left ( b-a+2 \right )$$
Il suffira ensuite de faire tendre ε vers 0 pour avoir le résultat.
Soit A la partie formée des points c de I tels que pour a≤x<c, on ait :
$$\left \| f(x)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (x)-\varphi (a)+\varepsilon (x-a)+\varepsilon \sum_{x_{n}< x}^{ }2^{-n}$$
Il est clair que a∈A. Si c∈A et si a<d<c, alors d∈A aussi, par définition de A. Ceci montre que si e st la borne supérieure de A, alors A doit être ou bien l'intervalle [a,e[, ou bien l'intervalle [a,e, mais en fait, de la définition de A encore il résulte que A=[a,e].
De plus, il résulte de la continuité de f et φ que :
$$\left \| f(e)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (e)-\varphi (a)+\varepsilon (e-a)+\varepsilon \sum_{x_{n}< e}^{ }2^{-n} \tag{1}$$
et par suite il suffit de montrer que e=b.
Supposons e<b ; si e∉D alors de la définition de la dérivée, il résulte qu'il existe un intervalle [e,e+λ] contenu dans I tel que pour e≤x<e+λ
$$\left \| f(x)-f(e)-f'(e)(x-e) \right \|\leqslant \frac{\varepsilon }{2}\left ( x-e \right )$$
et
$$\left \| \varphi (x)-\varphi (e)-\varphi '(e)(x-e) \right \|\leqslant \frac{\varepsilon }{2}\left ( x-e \right )$$
De là nous tirons :
$$\left \| f(x)-f(e) \right \|\leqslant \left \| f'(e) \right \|(x-e)+\frac{\varepsilon }{2}(x-e)\leqslant \varphi '(e)(x-e)+ \frac{\varepsilon }{2}(x-e)\leqslant \varphi (x)-\varphi (e)+\varepsilon (x-e)$$
et en utilisant (1) on en déduit :
$$\left \| f(x)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (x)-\varphi (a)+\varepsilon (x-a)+\varepsilon \sum_{x_{n}< e}^{ }2^{-n}$$
et
$$\left \| f(x)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (x)-\varphi (a)+\varepsilon (x-a)+\varepsilon \sum_{x_{n}< x}^{ }2^{-n}$$
ce qui est contraire à la définition de e.
Si e∈D soit m tel que e=xm. Il résulte de la continuité de f et de φ qu'il existe un intervalle [e,e+λ] contenu dans I tel que pour e≤x<e+λ
$$\left \| f(x)-f(e) \right \|\leqslant \frac{\varepsilon }{2}2^{-m}$$
et
$$\left | \varphi (x)-\varphi (e) \right |\leqslant \frac{\varepsilon }{2}2^{-m}$$
Par suite de (1) on déduit encore :
$$\left \| f(x)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (x)-\varphi (a)+\varepsilon (e-a)+\varepsilon \sum_{x_{n}< x}^{ }2^{-n}$$
et donc :
$$\left \| f(x)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (x)-\varphi (a)+\varepsilon (x-a)+\varepsilon \sum_{x_{n}< x}^{ }2^{-n}$$
Ce qui conduit de nouveau à une contradiction.
$$\left \| f(b)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (b)-\varphi (a)+\varepsilon \left ( b-a+2 \right )$$
Il suffira ensuite de faire tendre ε vers 0 pour avoir le résultat.
Soit A la partie formée des points c de I tels que pour a≤x<c, on ait :
$$\left \| f(x)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (x)-\varphi (a)+\varepsilon (x-a)+\varepsilon \sum_{x_{n}< x}^{ }2^{-n}$$
Il est clair que a∈A. Si c∈A et si a<d<c, alors d∈A aussi, par définition de A. Ceci montre que si e st la borne supérieure de A, alors A doit être ou bien l'intervalle [a,e[, ou bien l'intervalle [a,e, mais en fait, de la définition de A encore il résulte que A=[a,e].
De plus, il résulte de la continuité de f et φ que :
$$\left \| f(e)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (e)-\varphi (a)+\varepsilon (e-a)+\varepsilon \sum_{x_{n}< e}^{ }2^{-n} \tag{1}$$
et par suite il suffit de montrer que e=b.
Supposons e<b ; si e∉D alors de la définition de la dérivée, il résulte qu'il existe un intervalle [e,e+λ] contenu dans I tel que pour e≤x<e+λ
$$\left \| f(x)-f(e)-f'(e)(x-e) \right \|\leqslant \frac{\varepsilon }{2}\left ( x-e \right )$$
et
$$\left \| \varphi (x)-\varphi (e)-\varphi '(e)(x-e) \right \|\leqslant \frac{\varepsilon }{2}\left ( x-e \right )$$
De là nous tirons :
$$\left \| f(x)-f(e) \right \|\leqslant \left \| f'(e) \right \|(x-e)+\frac{\varepsilon }{2}(x-e)\leqslant \varphi '(e)(x-e)+ \frac{\varepsilon }{2}(x-e)\leqslant \varphi (x)-\varphi (e)+\varepsilon (x-e)$$
et en utilisant (1) on en déduit :
$$\left \| f(x)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (x)-\varphi (a)+\varepsilon (x-a)+\varepsilon \sum_{x_{n}< e}^{ }2^{-n}$$
et
$$\left \| f(x)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (x)-\varphi (a)+\varepsilon (x-a)+\varepsilon \sum_{x_{n}< x}^{ }2^{-n}$$
ce qui est contraire à la définition de e.
Si e∈D soit m tel que e=xm. Il résulte de la continuité de f et de φ qu'il existe un intervalle [e,e+λ] contenu dans I tel que pour e≤x<e+λ
$$\left \| f(x)-f(e) \right \|\leqslant \frac{\varepsilon }{2}2^{-m}$$
et
$$\left | \varphi (x)-\varphi (e) \right |\leqslant \frac{\varepsilon }{2}2^{-m}$$
Par suite de (1) on déduit encore :
$$\left \| f(x)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (x)-\varphi (a)+\varepsilon (e-a)+\varepsilon \sum_{x_{n}< x}^{ }2^{-n}$$
et donc :
$$\left \| f(x)-f(a) \right \|\leqslant \varphi (x)-\varphi (a)+\varepsilon (x-a)+\varepsilon \sum_{x_{n}< x}^{ }2^{-n}$$
Ce qui conduit de nouveau à une contradiction.
Le cas le plus important est celui où φ(x)=M(x-a) avec M>0, qui nous donne donc comme corollaire :
S'il existe une partie au plus dénombrable D de I telle que pour tout x∈I-D f ait en x une dérivée par rapport à I telle que ||f'(x)||≤M, alors ||f(b)-f(a)||≤M(b-a).
Nous avons également comme conséquence :
Supposons que φ soit une application continue de I dans ℝ telle que, en tout point x∈I-D, φ ait une dérivée par rapport à I avec m≤φ'(x)≤M.
Alors :$$m(\beta -\alpha )\leqslant \varphi (\beta )-\varphi (\alpha )\leqslant M(\beta -\alpha )$$et en fait$$m(\beta -\alpha )< \varphi (\beta )-\varphi (\alpha )< M(\beta -\alpha )$$sauf lorsque$$\varphi (x)=\varphi (a)+m(x-a) \text{ ou }\varphi (x)=\varphi (a)+M (x-a)$$
Alors :$$m(\beta -\alpha )\leqslant \varphi (\beta )-\varphi (\alpha )\leqslant M(\beta -\alpha )$$et en fait$$m(\beta -\alpha )< \varphi (\beta )-\varphi (\alpha )< M(\beta -\alpha )$$sauf lorsque$$\varphi (x)=\varphi (a)+m(x-a) \text{ ou }\varphi (x)=\varphi (a)+M (x-a)$$
La première partie se démontre exactement comme le théorème principal.
Pour démontrer la seconde partie on remarque que d'après la première partie la fonction φ(x)-φ(a)-m(x-a) est croissante sur I. Si elle n'est pas identiquement nulle , alors φ(b)-φ(a)-m(b-a)>0. On raisonne de même pour démontrer l'autre inégalité.
Pour démontrer la seconde partie on remarque que d'après la première partie la fonction φ(x)-φ(a)-m(x-a) est croissante sur I. Si elle n'est pas identiquement nulle , alors φ(b)-φ(a)-m(b-a)>0. On raisonne de même pour démontrer l'autre inégalité.