Il est facile de fabriquer des suites de nombres rationnels convergeant vers √2 ou vers π. On voit donc qu'un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ comme $\mathbb{Q}$, s'il est stable pour les opérations algébriques, ne l'est pas par passage à la limite. C'est que $\mathbb{Q}$ comporte des 'trous', ce qui n'est pas le cas de $\mathbb{R}$ qui, quand elles convergent, admettent une limite dans le même ensemble $\mathbb{R}$. Nous allons généraliser le cas de $\mathbb{R}$ aux espaces métriques en définissant des espaces dits 'complets', où l'on sera assuré que dès que des suites vérifient un certain critère, le critère dit 'de Cauchy', elles sont convergentes vers un point de leur espace.
Suites de Cauchy
∀ε>0 ∃n0∈$\mathbb{N}$ tel que p≥n0 et q≥n0 ⇒ d(xp,xq)<ε
Les deux théorèmes qui précèdent nous permettent de donner des exemples d'espaces complets et d'espaces non complets, sachant que la droite $\mathbb{R}$ est un espace complet.
L'importance de la notion d'espace complet réside dans le fait qu'il est possible de caractériser les suites convergentes sans connaître a priori leurs limites.
Il résulte de la définition que:
Espaces complets
- Toute suite décroissante d'intervalles emboîtés de $\mathbb{R}$ a une intersection non vide
- Toute suite bornée de points de $\mathbb{R}$ possède une borne supérieure et une borne inférieure.
On raisonne alors ainsi. Une suite de Cauchy de réels est nécessairement bornée donc contenue dans un intervalle [a,b]. On peut évidemment négliger le cas où a=b, la suite étant alors constante donc évidemment convergente. On construit alors une suite d'intervalles emboîtés de la façon suivante. I0=[a,b] parmi les deux intervalles [a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b] l'un au moins contient des xn pour une infinité de valeurs de n. On appelle I1 cet intervalle ⊆ I0. Puis par récurrence on construit de la même façon In+1 à partir de In, de sorte qu'on forme une suite décroissante d'intervalles In chacun étant de longueur |b-a|/2n. L'intersection de tous les In est non vide et évidemment réduite à un seul point, on peut la voir comme la borne supérieure de la suite formée par les extrémités gauches des In ou bien la borne inférieure des extrémités droites des In. L'unique point a appartenant à tous les In est, par construction, une valeur d'adhérence de la suite xn, c'est donc sa limite d'après le résultat précédent.
Les deux théorèmes précédents, joints au fait que la droite réelle est un espace complet permet de fournir un grand nombre d'exemples d'espaces complets et non complets comme sous-espace de $\mathbb{R}$.
Oscillation d'une fonction en un point
Soient (E,d) et (E',d') deux espaces métriques, A un sous-ensemble de E et f une application de A dans E'.
Une caractérisation de la complétude
Toute suite décroissante de fermés Fn non vides de E dont les diamètres tendent vers 0 est égale à un singleton (un seul point).
La condition est nécessaire. Soit en effet pour tout n xn un point de Fn. Il est clair que la suite (xn) est une suite de Cauchy. elle converge donc vers un point x.
Pour n≥m tous les xn sont dans Fm donc la limite de cette suite aussi. Ceci prouve que x est dans chaque Fm, qui est fermé, donc dans leur intersection.
En outre le diamètre de l'intersection qui est contenue dans chaque Fm ne peut être que nul compte tenu de l'hypothèse faite sur les diamètres des Fn. cette intersection se réduit donc à {x}.
Réciproquement Si (xn) est une suite de Cauchy de points de E, posons Fm=$\overline{\{xn | n≥m\}}$, alors les fermés Fm satisfont aux conditions de l'énoncé. leur intersection est donc un singleton {x} et x est évidemment la limite de la suite (xn).