Soit(E,$\mathfrak{T}$) un espace topologique et A un sous-ensemble de E. On dit que A est un ensemble compact si, muni de la topologie induite par celle de E, il devient un espace compact.
Par exemple, tous les sous-ensembles finis d'un espace topologique quelconque sont des ensembles compacts.
Cette définition s'applique au cas particulier des espaces métriques, et de façon similaire, nous avons:
Un ensemble précompact dans un espace métrique (E,d) est un sous-ensemble de E qui devient un espace métrique précompact avec la distance induite par celle de E.
Tout ensemble précompact est borné.
Cela résulte du fait que toute réunion finie d'ensembles bornés est bornée.
Dans tout ce qui suit nous nous intéressons uniquement au cas des espaces métriques.
Nous avons d'abord le premier résultat suivant qui done une condition nécessaire pour qu'un sous-espace métrique soit compact :
Tout ensemble compact dans un espace métrique est fermé dans cet espace.
En effet, un tel sous-espace est complet d'après ce résultat. Il suffit donc d'appliquer ce résultat.
Dans un espace compact E, tout sous-ensemble fermé est compact.
En effet un tel ensemble est évidemment précompact et c'est un sous-espace complet d'après ce résultat.Il suffit alors d'utiliser une caractérisation des espaces métriques compacts.
Un ensemble relativement compact dans un espace métrique (E,d) est un sous-ensemble A dont l'adhérence $\overline{A}$ est compacte.
Tout sous-ensemble d'un ensemble relativement compact (resp. précompact) est relativement compact (resp. précompact).
Cela résulte des définitions et du théorème précédent.
Un ensemble relativement compact est précompact. Dans un espace complet un ensemble précompact est relativement compact.
La première assertion résulte immédiatement du théorème précédent. Supposons ensuite que E soit complet et que A⊆E précompact. Pour tout ε>0, il existe un recouvrement de A par un nombre fini de sous-ensembles Ck de A de diamètre <ε/2 ; chaque Ck est contenu dans une boule fermée Dk (de E) de rayon ε/2. Nous avons donc $\overline{A}\subseteq \bigcup_{k}^{ }D_{k}$, l'ensemble $\bigcup_{k}^{ }D_{k}$ étant fermé, et chaque Dk a un diamètre ≤ε. D'autre part $\overline{A}$ est un sous-espace complet d'après ce résultat, d'où le résultat final.
Le résultat suivant est connu sous le nom de théorème de Borel Lebesgue.
Pour qu'un sous-ensemble de la droite réelle soit relativement compact, il faut et il suffit qu'il soit borné.
En vertu des résultats qui précèdent il nous reste à montrer que tout intervalle fermé [a,b] est précompact. Pour tout entier positif n soit xk=a+k(b-a)/n (0≤k≤n) ; alors les intervalles ouverts de centres xk et de longueur 2/n forment un recouvrement de [a,b].
Pour qu'un sous-ensemble A d'un espace métrique (E,d) soit relativement compact, il faut et il suffit que toute suite de points de A possède une valeur d'adhérence dans E.
La condition est évidemment nécessaire d'après la caractérisation des compacts dans les espaces métriques. Réciproquement, supposons qu'elle soit satisfaite et montrons que toute suite $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ de points de $\overline{A}$ possède une valeur d'adhérence (qui sera dans $\overline{A}$ daprès ce résultat) et que par suite $\overline{A}$ est compact d'après ce résultat. Pour tout entier n, d'après la définition de l'adhérence il existe yn∈A tel que d(xn,yn)<1/n. Par hypothèse, il existe une suite extraite zk=ynk de la suite (yn) qui converge vers un point a ; d'après l'inégalité du triangle il en résulte que (xnk) converge aussi vers a.
D'après ce résultat, il nous suffit de démontrer que la réunion de deux ensembles compacts A,B est compacte. Soit (Uλ)λ∈L un recouvrement ouvert du sous espace A∪B; chaque Uλ peut s'écrire (A∪B)∩Vλ où Vλ est ouvert dans E. Par hypothèse, il existe un sous-ensemble fini H (res. K) de L tel que la famille (A∩Vλ)λ∈H (resp. (B∩Vλ)λ∈K) soit un recouvrement de A (resp. B). Il est alors clair que la famille ((A∪B)∩Vλ)λ∈H∪K est un recouvrement fini de A∪B.
Soit f une application continue d'un espace métrique (E,d) dans un espace métrique (E',d'). Pour tout sous-ensemble compact (resp. relativement compact) A de E, f(A) est compact, donc fermé dans E' (resp. relativement compact dans E').
Il suffit de prouver que f(A) est compact lorsque A est compact. Soit (Uλ)λ∈L un recouvrement ouvert du sous-espace f(A) de E' ; alors les ensembles A∩f-1(Uλ) forment un recouvrement ouvert de A d'après ce résultat. Par hypothèse il existe un sous-ensemble fini H⊆L tel que les ensembles A∩f-1(Uλ) (λ∈H) forment encore un recouvrement de A. Alors les ensembles Uλ=f(A∩f-1(Uλ)) pour λ∈H forment encore un recouvrement de f(A).
Soient (E,d) un espace métrique compact non vide et f une application continue de E dans $\mathbb{R}$ ; alors f(E) est borné et il existe deux points a et b de E tels que f(a)=infx∈Ef(x) et f(b)=supx∈Ef(x).
La première assertion résulte de la précédente et du premier résultat de cette page. D'autre part f(E) est fermé dans $\mathbb{R}$ d'après le second théorème de cette page, donc infx∈Ef(x) et upx∈Ef(x) qui sont par définition des points adhérents à f(E) appartiennent à f(E).
Soit A un sous-ensemble compact d'un espace métrique (E,d). Alors les ensembles Vr(A) forment un système fondamental de voisinages de A.
Soit U un voisinage de A ; la fonction réelle x→d(x,E-U) est >0 et continue dans A d'après ce résultat, donc d'après le résultat précédent il existe un point x0 tel que
d(x0,E-U)=infx∈Ad(x,E-U). Mais d(x0,E-U)=r>0, donc Vr(A)⊆U.
d(x0,E-U)=infx∈Ad(x,E-U). Mais d(x0,E-U)=r>0, donc Vr(A)⊆U.
Si (E,d) est un espace métrique compact, f une application continue injective de E dans un espace métrique (E',d'), alors f est un homéomorphisme de E sur f(E).
D'après la caractérisation des applications continues il suffit de montrer que pour tout sous-ensemble fermé A⊆E, f(A) est fermé dans f(E) ; mais cela résulte du troisième théorème de cette page et du fait que l'image d'un compact par une fonction continue est compacte.