Comme dans les pages précédentes, E et F désignent des espaces de Banach sur un même corps K, U un ouvert de E, a un point de U, f et g deux applications définies sur U. On rappelle que leur somme f+g est définie par :
(f+g)(x)=f(x)+g(x) ∀x∈U et que si λ désigne un scalaire de K, (λf)(x)=λ.f(x) ∀x∈U.
Dans ces conditions :
Si f et g sont dérivables en a il en est de même de f+g et (f+g)'(a)=f'(a)+g'(a). λf est dérivable en a et (λf)'(a)=λ.f'(a)
Cela résulte du fait que ||(f+g)(x)-(f+g)(a)-(f'(a)+g'(a)).(x-a)|| ≤ ||f(x)-f(a)-f'(a).(x-a)||+||g(x)-g(a)-g'(a).(x-a)|| et ||(λf)(x)-(λf)(a)-λf'(a).(x-a)||=|λ|.||f(x)-f(a)-f'(a).(x-a)||.
Ce résultat admet la conséquence suivante :
L'ensemble des applications de U dans F différentiables en a∈U est un sous-espace vectoriel Da de l'ensemble de toutes les applications de U dans F.
L'application f → f'(a) est une application linéaire de Da dans $\mathfrak{L}(E;F)$.
L'ensemble C1(U) des applications de classe C1 sur U et à valeurs dans F est un sous-espace de l'espace de toutes les fonctions continues sur U, lui-même étant un sous-espace de toutes les fonctions définies sur U et à valeurs dans F.