Soit E un espace vectoriel réel ou complexe,x→||x||1 et x→||x||2 deux normes sur E ; on dit que || ||1 est plus fine que || ||2 si la topologie définie par || ||1 est plus fine que la topologie définie par || ||2.
Si on note E1 l'espace normé défini par l'espace vectoriel E et la norme || ||1 et si on note E2 l'espace normé défini par l'espace vectoriel E et la norme || ||2, dire que || ||1 est plus fine que | ||2, revient donc à dire que l'application identique x→x de E1 dans E2 est continue.
Compte tenu des résultats de cette page, cela revient à dire qu'il existe un nombre a>0 tel que ||x||2≤a||x||1 pour tout vecteur x de E.
On dit que || ||1 et || ||2 sont équivalentes si elles définissent la même topologie sur E.
Compte tenu de la remarque précédente :
Pour que les deux normes || ||1 et || ||2 définies sur le même espace vectoriel E soient équivalentes, il faut et il suffit qu'il existe deux constantes a et b strictement positives telles que
a||x||1≤||x||2≤b||x||1 pour tout x de E.
a||x||1≤||x||2≤b||x||1 pour tout x de E.
Les distances correspondantes sont alors uniformément équivalentes.
Par exemple, sur le produit E1×E2, les normes :
- sup(||..||1,||..||2)
- ||..||1+||..||2
- √||..||21+||..||22
sont équivalentes.
Pour un exemple de normes non équivalentes, voir cet exercice.