Espaces normés de dimension finie

Le résultat principal dit en substance qu'à un homéomorphisme près il n'y a qu'un espace de Banach sur K de dimension n, ce qui signifie entre autres que sur un espace de Banach de dimension finie toutes les normes sont équivalentes.

Dans tout espace vectoriel normé toute boule est homéomorphe par une translation à une boule de centre O. En outre toute boule de centre O est homéomorphe grâce à une dilatation à la boule de centre O et de rayon 1. Un espace vectoriel normé est donc localement compact si et seulement si la boule unité fermée de centre O est compacte.
Kn avec la norme du sup est par définition le produit de n exemplaires de K. la boule unité de Kn est compacte comme produit de compacts. Le second résultat est en quelque sorte une réciproque de cela.

Soit E un espace vectoriel normé sur K de dimension n ; si (a1,...,an) est une base de E, l'isomorphisme linéaire de Kn sur E :
$$\left ( \xi_{1},...,\xi_{n} \right )\rightarrow \xi_{1}a_{1}+...+\xi_{n}a_{n}$$
est bicontinu (est donc un homéomorphisme).
Raisonnons par récurrence sur n et démontrons d'abord le résultat pour n=1. On sait que ξ→ξa1 est continue, puisque ||ξa1||=|ξ|.||a1|| d'après la caractérisation des applications linéaires continues. Mais la même relation entraîne $|\xi|=\frac{1}{||a_{1}||}.||\xi a_{1}||$ et démontre la continuité de la réciproque.
Supposons maintenant le théorème démontré pour n-1, et soit H l'hyperplan engendré par a1,...,an-1; l'hypothèse de récurrence implique que la norme sur H induite par celle de E est équivalente à la norme sup1≤i≤n-1|ξi| ; H est donc complet pour ces deux normes et par suite fermé dans E. Comme H est le noyau de la forme linéaire $\xi_{1}a_{1}+...+\xi_{n}a_{n}\rightarrow \xi_{n}$, cette forme linéaire est continue. Il suffit alors d'appliquer ce résultat qui dit que H et Kan sont supplémentaires topologiques dans E.

Dans un espace normé E, soit V une sous-espace fermé, W un sous-espace de dimension finie ; alors V+W est fermé dans E. En particulier, tout sous-espace de dimension finie est fermé dans E.
Voir cet exercice.

Dans un espace normé E, soit V un sous-espace fermé de codimension finie (ayant un supplémentaire algébrique de dimension finie) ; alors tout supplémentaire algébrique de V en est aussi un supplémentaire topologique.
Soit W un supplémentaire algébrique de V dans E ; on raisonne par récurrence sur la dimension n de W. Le résultat est acquis pour n=1 (voir ce théorème).
On peut écrire W=D+U où D est de dimension 1 et U de dimension n-1, les deux étant en somme directe. D'après le résultat précédent V+D est fermé dans dans E , donc U est un supplémentaire topologique de V+D par hypothèse de récurrence. E est naturellement homéomorphe à (V+D)×U mais V+D est homéomoprphe à V×D d'après la définition d'un supplémenaire topologique, donc E est naturellement homéomorphe à W×D×U, enfin comme D×U est naturellement homéomorphe à W, E est naturellement homéomorphe à V×W ce qui achève la démonstration.

Le résultat suivant est connu sous le nom de Théorème de F. Riesz

Un espace normé localement compact est nécessairement de dimension finie.
Si E est localement compact on peut donc supposer que sa boule unité fermée B est compacte. Par suite B peut être recouverte par un nombre fini de boules de centres ai∈B et de rayon 1/2.
Soit maintenant V le sous espace engendré par les ai ; nous allons montrer par l'absurde que V=E.
Supposons qu'il existe un x∈E qui ne soit pas dans V. comme V est fermé d'après ce qui précède on a d(x,V)=α>0. Par définition de d(x,V), il existe dans V un point y tel que α≤||x-y||≤3α/2. Soit z=(x-y)/||x-y|| alors ||z||=1, donc z∈B. Il existe donc un indice i tel que ||z-ai||≤1/2.
Nous avons x=y+||x-y||z=y+||x-y||ai+||x-y||(z-ai)
Remarquons maintenant que y+||x-y||ai∈V. Par définition de d(x,V) on a alors ||x-y||.||z-ai||≥α, donc ||x-y||≥2α, ce qui est contraire au choix de y puisque α≠0.

Exercices

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