En gros le résultat principal donne pour les fonctions différentiables une majoration de la variation d'une fonction entre deux points en fonction du maximum de la norme de la différentielle entre ces deux mêmes points.
Pour faire simple le théorème dit que si un véhicule se déplace avec une vitesse instantannée toujours inférieure à 60km/h, sa vitesse moyenne sur le parcours ne peut excéder 60km/h.
La terminologie des "accroissements finis" s'explique par des raisons historiques ; la notion d'accroissements "finis" s'oppose à celle d'accroissements "infinitésimaux" dont il était question autrefois en calcul différentiel.
En outre si on suppose connu le théorème fondamental liant la notion de primitive à celle de dérivée, le théorème des accroissements finis se confond avec le théorème de la moyenne. C'est pourquoi certains auteurs (Jean Dieudonné) intitule ce résultat 'théorème de la moyenne'.
Plan du chapitre :

• Théorème principal et applications directes
• Cas où la variable est dans un espace de Banach
• Convergence d'une suite de fonctions différentiables
• Relation entre différentiation partielle et différentiation totale
• Primitives et intégrales
• Exercices