Exercices sur la définition des applications différentiables
Soit c0 l'espace de Banach des suites de réels x =(xn) n∈ℕ tendant vers 0, avec la norme $\left \| x \right \|=\sup_{n}\left | x_{n} \right |$.
On a déjà rencontré cet espace dans cet exercice et celui-là.
Soit x=(xn) un point de c0 tel qu'il existe un indice n0 tel que |xn0| > |xn| ∀ n≠n0.
Montrer que la fonction norme est différentiable en x et calculer sa dérivée en ce point.
On a déjà rencontré cet espace dans cet exercice et celui-là.
Soit x=(xn) un point de c0 tel qu'il existe un indice n0 tel que |xn0| > |xn| ∀ n≠n0.
Montrer que la fonction norme est différentiable en x et calculer sa dérivée en ce point.
Commencer par montrer qu'il existe un réel δ tel que |xn|+δ ≤ |xn0| ∀ n ≠ n0.
Soit donc x et n0 comme il est dit dans l'énoncé. Puisque la suite xn tend vers 0 il est sur que pour n assez grand, disons n>N on a |xn|≤|xn0|/2. Ce qui prouve que :
$$Sup_{n\neq n_{0}}|x_{n}| \leq Sup \left ( \left | x_{n_{0}} \right |/2,Sup_{n\leqslant N, n\neq n_{0} }\left | x_{n} \right | \right )$$
Or puisque les valeur de n telles que n ≤ N sont en nombre fini
$$Sup_{n\leqslant N, n\neq n_{0} }\left | x_{n} \right |< \left | x_{n_{0}} \right |$$
D'où l'existence d'un δ>0 comme il est dit dans l'aide.
Alors si h est un élément de c0, tel que ||h||< δ on a ||x+h|| = |xn0+hn0|.
Dans ces conditions :
$$||x+h||-||x||=|x_{n_{0}}+h_{n_{0}}|-|x_{n_{0}}|=h_{n_{0}}$$
Considérons maintenant la forme linéaire u : h → hn0.
Pour h suffisamment petit en norme on a :
$$\left \| x+h \right \|-\left \| x \right \|-u.h=0$$
Ce qui prouve que u est la dérivée de la norme en x.
$$Sup_{n\neq n_{0}}|x_{n}| \leq Sup \left ( \left | x_{n_{0}} \right |/2,Sup_{n\leqslant N, n\neq n_{0} }\left | x_{n} \right | \right )$$
Or puisque les valeur de n telles que n ≤ N sont en nombre fini
$$Sup_{n\leqslant N, n\neq n_{0} }\left | x_{n} \right |< \left | x_{n_{0}} \right |$$
D'où l'existence d'un δ>0 comme il est dit dans l'aide.
Alors si h est un élément de c0, tel que ||h||< δ on a ||x+h|| = |xn0+hn0|.
Dans ces conditions :
$$||x+h||-||x||=|x_{n_{0}}+h_{n_{0}}|-|x_{n_{0}}|=h_{n_{0}}$$
Considérons maintenant la forme linéaire u : h → hn0.
Pour h suffisamment petit en norme on a :
$$\left \| x+h \right \|-\left \| x \right \|-u.h=0$$
Ce qui prouve que u est la dérivée de la norme en x.
Cet exercice suppose connues les définitions et les propriétés relatives aux dérivées des fonctions d'une variable réelle.
On désigne par E l'espace normé $\mathfrak{l}_{1}(\mathbb{R})$ des suites (xi)i∈ℕ de nombres réels absolument convergentes, c'est à dire telles que $\sum_{i=0}^{\infty }\left | x_{i} \right |< +\infty $, avec la norme $\left \| x \right \|_{1}=\sum_{i=0}^{\infty }\left | x_{i} \right |$.
Il résulte de cette définition que toute suite de E est en particulier bornée et on pose pour une telle suite x=(xi) $\left \| x \right \|_{\infty }=\sup_{i}\left | x_{i} \right |$.
f:ℝ→ℝ désigne ici une application fixe de classe C1, c'est à dire continûment dérivable sur ℝ et vérifiant f(0)=0.
On désigne par E l'espace normé $\mathfrak{l}_{1}(\mathbb{R})$ des suites (xi)i∈ℕ de nombres réels absolument convergentes, c'est à dire telles que $\sum_{i=0}^{\infty }\left | x_{i} \right |< +\infty $, avec la norme $\left \| x \right \|_{1}=\sum_{i=0}^{\infty }\left | x_{i} \right |$.
Il résulte de cette définition que toute suite de E est en particulier bornée et on pose pour une telle suite x=(xi) $\left \| x \right \|_{\infty }=\sup_{i}\left | x_{i} \right |$.
f:ℝ→ℝ désigne ici une application fixe de classe C1, c'est à dire continûment dérivable sur ℝ et vérifiant f(0)=0.
- Montrer que F: E→E (xi)→(f(xi)) définit une application de E dans E.
- Montrer que F est dérivable en tout point a=(ai) de E et calculer sa dérivée.
- Utiliser le fait que f étant continue sur ℝ est bornée sur tout intervalle compact.
- Partir de :$$f\left ( a_{i}+h_{i} \right )-f\left ( a_{i} \right )-f'\left ( a_{i} \right ).h_{i}=\int_{0}^{h_{i}}\left ( f'(a_{i}+t)-f'(a_{i}) \right )dt$$
- Si x=(xi) est élément de E alors x est borné posons s=||x||∞. f' est continue sur l'intervalle [-s,+s] et est donc bornée sur cet intervalle soit M=sup[-s,+s]|f'(x)|.
Nous avons donc d'après le théorème des accroissements finis pour les fonctions d'une variable |f(xi)|≤M.|xi|, qui prouve que F(x) est bien élément de E. -
Soit U l'application de E dans E (hi)→(f'(ai).hi). C'est évidemment une application linéaire. Puisque a=(ai)∈E posons K=||a||∞. f' étant continue sur [-K,+K], f' est bornée sur cet intervalle. Soit G la borne supérieure de f' sur et intervalle. on a donc ||U.h||1≤G.||h||1, qui prouve que U est continue.
Nous montrons maintenant que U=F'(a).
Soit donc ε>0. Comme f' est uniformément continue sur [-K-1,K+1], il existe δ>0 tel que x,y∈[-K-1,K+1] et |x-y|≤δ implique |f'(x)-f'(y)|≤ε. On peut supposer en outre δ<1.
Partons de :$$f\left ( a_{i}+h_{i} \right )-f\left ( a_{i} \right )-f'\left ( a_{i} \right ).h_{i}=\int_{0}^{h_{i}}\left ( f'(a_{i}+t)-f'(a_{i}) \right )dt$$
Donc si ||h||1≤δ on a pour chaque indice i : |f(ai+hi)-f(ai)-f'(ai).hi|≤εhi.
Qui nous donne finalement : $$\left \| f(a+h)-F(a)-U.h \right \|_{1}\leqslant \varepsilon \left \| h \right \|_{1}$$ CQFD.
Exercices sur la dérivation des fonctions composées
Soit f une application continue d'un ouvert U d'un espace de Banach E, à valeurs dans un espace de Banach F.
Soit a un point de U et h un vecteur non nul de E.
On appelle dérivée directionnelle de f en a selon le vecteur u, la limite, si elle existe :
$$\lim_{t\rightarrow 0, t\neq 0}\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}$$
Soit a un point de U et h un vecteur non nul de E.
On appelle dérivée directionnelle de f en a selon le vecteur u, la limite, si elle existe :
$$\lim_{t\rightarrow 0, t\neq 0}\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}$$
- Montrer que si f est différentiable en a, alors f possède en a des dérivées directionnelles dans toutes les directions.
- Montrer que la fonction La fonction f : ℝ2 → ℝ définie par $f(x,y)=\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}$ pour (x,y)≠ (0,0) et f(0,0)=0, admet des dérivées directionnelles dans toutes les directions.
Montrer qu'une dérivée directionnelle est la dérivée en 0 d'une fonction composée.
- t → f(a+tu) est composée de t → a+tu avec f. t → a+tu est différentiable et sa dérivée est h → hu. il suffit donc d'appliquer le thm de dérivation des fonctions composées.
- Si u=(x,y)≠(0,0)
$$\frac{f(0+tu)-f(0)}{t}=\frac{tx^{3}y}{t^{2}x^{4}+y^{2}}$$
Il en résulte qu'on a une dérivée directionnelle nulle dans toutes les directions au point O.
Exercices sur les dérivées des fonctions particulières
Soit U l'ouvert de ℝ2 formé des couples (x,y) tels que x>0 et y>0.
Soit f: U → ℝ la fonction définie par f(x,y)=ln(xy).
Montrer que f est différentiable en tout point (x0,y0) de U et calculer sa dérivée.
Soit f: U → ℝ la fonction définie par f(x,y)=ln(xy).
Montrer que f est différentiable en tout point (x0,y0) de U et calculer sa dérivée.
Constater que f est composée de (x,y) → xy bilinéaire et de z → ln(z)
La dérivée de (x,y) → xy est l'application linéaire (h,k) → yh+xk.
La dérivée de z → ln(z) est l'application linéaire t → t/z.
En appliquant la règle de dérivation des applications composées on obtient que la dérivée de f en (x,y) est l'application linéaire (h,k) → h/x+y/k.
La dérivée de z → ln(z) est l'application linéaire t → t/z.
En appliquant la règle de dérivation des applications composées on obtient que la dérivée de f en (x,y) est l'application linéaire (h,k) → h/x+y/k.
En utilisant ce résultat retrouver :
- La dérivée de la fonction réelle x→1/x en tout point non nul.
- La dérivée de 1/v où v est une fonction dérivable de ℝ dans ℝ, en tout point x tel que v(x)≠0.
- La dérivée de u/v où u et v sont des fonctions dérivable de ℝ dans ℝ, en tout point x tel que v(x)≠0.
Dans le cas d'une fonction de ℝ dans ℝ la dérivée s'identifie à un nombre.
- En appliquant le cours on voit que la dérivée de $x\rightarrow \frac{1}{x}$ en tout x non nul est l'application $h\rightarrow -\frac{h}{x^{2}}$, la dérivée s'identifie donc au nombre $-\frac{1}{x^{2}}$.
- La fonction 1/v est composée de v avec x→1/x. En appliquant la question précédente, conjointement avec les résultats sur la dérivation des fonctions composées on voit que la dérivée de 1/v s'identifie au nombre $-\frac{v'(x)}{v(x)^{2}}$.
- La fonction u/v est le produit de u par la fonction 1/v. En appliquant la question précédente conjointement avec le résultat sur la dérivation des fonction bilinéaires on obtient :
$$\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Exercices sur la dérivation des fonctions à valeurs dans un produit
Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables sur leur domaine de définition :
f: ℝ3 → ℝ2 f(x,y,z) = (x2z-2xy,z3-xyz)
f: ℝ2 → ℝ2 f(x,y) = (y.sin(x),cos(x))
f: ℝ3 → ℝ2 f(x,y,z) = (x2z-2xy,z3-xyz)
f: ℝ2 → ℝ2 f(x,y) = (y.sin(x),cos(x))
Examiner dans chaque cas les composantes de f et utiliser les théorèmes sur les sommes et produits de fonctions dérivables.
Dans le premier cas, par exemple, il suffit de montrer que les deux fonctions à valeurs réelles x2z-2xy et z3-xyz sont dérivables
Mais u1 : (x,y,z) → x est dérivable car linéaire.
u2 : (x,y,z) → y est dérivable car linéaire.
u2 : (x,y,z) → z est dérivable car linéaire.
Or x2z-2xy est la fonction u1×u1×u3-2×u1×u2
et z3-xyz est la fonction u33-u1u2u3
Ces deux fonctions apparaissent donc comme des combinaisons linéaires de produits de fonctions différentiables car linéaires.
Mais u1 : (x,y,z) → x est dérivable car linéaire.
u2 : (x,y,z) → y est dérivable car linéaire.
u2 : (x,y,z) → z est dérivable car linéaire.
Or x2z-2xy est la fonction u1×u1×u3-2×u1×u2
et z3-xyz est la fonction u33-u1u2u3
Ces deux fonctions apparaissent donc comme des combinaisons linéaires de produits de fonctions différentiables car linéaires.
Exercices sur la dérivation des fonctions définies sur un produit
La fonction f : ℝ2 → ℝ définie par $f(x,y)=\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}$ pour (x,y)≠ (0,0) et f(0,0)=0. Montrer que f admet partout des dérivées partielles. f est-elle continue à l'origine, différentiable à l'origine ?
Considérer la fonction u : x → x2 et composer f avec u.
l'inégalité a2+b2 ≥ 2ab nous donne :
$$\left | f(x,y) \right | \leqslant \left | \frac{x^{3}y}{2x^{2}y} \right |\leqslant \left | \frac{x}{2} \right |$$
ce qui entraîne la continuité de f à l'origine.
f a des dérivées partielles nulles à l'origine par f(x,0)=f(0,y)=0. Donc si f était différentiable en O sa dérivée serait nulle.
Si maintenant nous considérons l'application u : ℝ → ℝ2 qui à x associe (x,x2) on a fou(x)=x/2. Donc (fou)'(x)=1/2 ∀ x, ce qui est incompatible avec f'(0)=0. Il s'en suit que f n'est pas différentiable à l'origine.
$$\left | f(x,y) \right | \leqslant \left | \frac{x^{3}y}{2x^{2}y} \right |\leqslant \left | \frac{x}{2} \right |$$
ce qui entraîne la continuité de f à l'origine.
f a des dérivées partielles nulles à l'origine par f(x,0)=f(0,y)=0. Donc si f était différentiable en O sa dérivée serait nulle.
Si maintenant nous considérons l'application u : ℝ → ℝ2 qui à x associe (x,x2) on a fou(x)=x/2. Donc (fou)'(x)=1/2 ∀ x, ce qui est incompatible avec f'(0)=0. Il s'en suit que f n'est pas différentiable à l'origine.
La fonction f ℝ2 → ℝ :
$$(x,y) \rightarrow f(x,y)=\frac{xy^{3}}{x^{4}+y^{2}} \text { et } f(0,0)=0$$
est-elle continue, différentiable, de classe C1 ?
$$(x,y) \rightarrow f(x,y)=\frac{xy^{3}}{x^{4}+y^{2}} \text { et } f(0,0)=0$$
est-elle continue, différentiable, de classe C1 ?
Calculer les dérivées partielles, et étudier leur éventuelle continuité.
$$
\begin{cases}
& \frac{\partial df}{\partial x}(x,y)=\frac{-y^{3}(3x^{4}-y^{2})}{\left ( x^{4}+y^{2} \right )^{2}} \\
& \frac{\partial df}{\partial x}(x,y)=\frac{xy^{2}(3x^{4}+y^{2})}{\left ( x^{4}+y^{2} \right )^{2}}
\end{cases}
$$
Ces dérivées partielles sont continues en dehors de l'origine.
En outre les inégalités :
$$\left | \frac{\partial f}{\partial x} \right |\leqslant \left | \frac{3x^{4}y^{3}}{\left ( 2x^{2}y \right )^{2}} \right |+\left | \frac{y^{5}}{(y^{2})^{2}} \right |\leqslant \left | \frac{3y}{4} \right |+\left | y \right |=\frac{7|y|}{4}$$
$$\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right |\leqslant \left | \frac{3x^{5}y^{2}}{\left ( 2x^{2}y \right )^{2}} \right |+\left | \frac{xy^{4}}{(y^{2})^{2}} \right |\leqslant \left | \frac{3x}{4} \right |+\left | x \right |=\frac{7|x|}{4}$$
montrent la continuité de ces dérivées partielles à l'origine aussi.
f est donc de classe C1 en vertu du théorème (non encore démontré) cité dans le cours.
\begin{cases}
& \frac{\partial df}{\partial x}(x,y)=\frac{-y^{3}(3x^{4}-y^{2})}{\left ( x^{4}+y^{2} \right )^{2}} \\
& \frac{\partial df}{\partial x}(x,y)=\frac{xy^{2}(3x^{4}+y^{2})}{\left ( x^{4}+y^{2} \right )^{2}}
\end{cases}
$$
Ces dérivées partielles sont continues en dehors de l'origine.
En outre les inégalités :
$$\left | \frac{\partial f}{\partial x} \right |\leqslant \left | \frac{3x^{4}y^{3}}{\left ( 2x^{2}y \right )^{2}} \right |+\left | \frac{y^{5}}{(y^{2})^{2}} \right |\leqslant \left | \frac{3y}{4} \right |+\left | y \right |=\frac{7|y|}{4}$$
$$\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right |\leqslant \left | \frac{3x^{5}y^{2}}{\left ( 2x^{2}y \right )^{2}} \right |+\left | \frac{xy^{4}}{(y^{2})^{2}} \right |\leqslant \left | \frac{3x}{4} \right |+\left | x \right |=\frac{7|x|}{4}$$
montrent la continuité de ces dérivées partielles à l'origine aussi.
f est donc de classe C1 en vertu du théorème (non encore démontré) cité dans le cours.
Montrer que dans le cas d'une fonction définie sur Kn une dérivée partielle n'est qu'une dérivée directionnelle particulière.
Montrer par un contre exemple qu'une application peut avoir des dérivées directionnelles dans toutes les directions en un point sans pour autant être différentiable en ce point.
Montrer par un contre exemple qu'une application peut avoir des dérivées directionnelles dans toutes les directions en un point sans pour autant être différentiable en ce point.
Rassembler les résultats de cet exercice et de cet autre.
Les dérivées partielles sont des dérivées directionnelles suivant les vecteurs de la base canonique de Kn.
La même application f : ℝ2 → ℝ donnée en exemple dans les deux exercices possède des dérivées directionnelles nulles dans toutes les directions à l'origine sans être différentiable en O.
La même application f : ℝ2 → ℝ donnée en exemple dans les deux exercices possède des dérivées directionnelles nulles dans toutes les directions à l'origine sans être différentiable en O.
Exercices sur la dérivation combinaison des cas précédents
On reprend deux fonctions dont la différentiabilité a été étudiée dans un exercice précédent :
f: ℝ3 → ℝ2 f(x,y,z) = (x2z-2xy,z3-xyz)
g: ℝ2 → ℝ2 f(x,y) = (y.sin(x),cos(x))
Calculer les matrices de Df et Dg dans les bases canoniques de ℝ2, ℝ3.
f: ℝ3 → ℝ2 f(x,y,z) = (x2z-2xy,z3-xyz)
g: ℝ2 → ℝ2 f(x,y) = (y.sin(x),cos(x))
Calculer les matrices de Df et Dg dans les bases canoniques de ℝ2, ℝ3.
Tout revient à un calcul de dérivées partielles.
$$Df(x,y,z)=\begin{pmatrix}2zx-2y & -2x & x^{2} \\ -yz & -xz & 3z^{2}-xy\end{pmatrix}$$
$$Dg(x,y)=\begin{pmatrix} y.cos(x) & sin(x) \\ -sin(x) & 0 \end{pmatrix}$$
$$Dg(x,y)=\begin{pmatrix} y.cos(x) & sin(x) \\ -sin(x) & 0 \end{pmatrix}$$