Définitions
K désigne un corps commutatif, en pratique K sera $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
Une K-algèbre A est un K-espace vectoriel, muni de plus d'une multiplication interne notée conformément à la notation multiplicative par .,×, ou aucun symbole. De sorte que :
(A,+,.) soit un anneau, et que la loi externe et la multiplication interne soient compatibles au sens suivant :
∀ x,y∈A×A et ∀λ∈K (λx).y=x.(λy)=λ(x.y)
Si de plus l'anneau A est unitaire on dit que la K-algèbre est unitaire.
Si de plus la multiplication interne de A est commutative on dit que la K-algèbre est commutative.
(A,+,.) soit un anneau, et que la loi externe et la multiplication interne soient compatibles au sens suivant :
∀ x,y∈A×A et ∀λ∈K (λx).y=x.(λy)=λ(x.y)
Si de plus l'anneau A est unitaire on dit que la K-algèbre est unitaire.
Si de plus la multiplication interne de A est commutative on dit que la K-algèbre est commutative.
Une algèbre de Banach sur K consiste en la donnée d'une K-algèbre munie d'une norme telle que le K-espace vectoriel sous-jacent soit un espace vectoriel normé complet (un espace de Banach donc), et vérifie de plus ||u.v||≤||u||.||v||.
Il résulte immédiatemment de la définition que si A est une K-algèbre de Banach, l'application (x,y)→x.y de A×A dans A est une application bilinéaire continue.
Cela résulte de la caractérisation des applications multilinéaires continues définies sur un produit d'espaces de Banach.
Exemples
- K est évidemment une K-algèbre de Banach avec la multiplication usuelle (unitaire et commutative).
- L'ensemble Kn avec la multiplication composante par composante (x1,...,xn)(y1,...,yn)=(x1y1,...,xnyn) et la norme du sup ||(x1,..,xn)||=Sup1≤i≤n |xi|, est une K alèbre unitaire et commutative.
- Le corps des quaternions est une algèbre de Banach réelle de dimension 4, non commutative, avec pour norme la valeur absolue d'un quaternion.
- L'ensemble des fonctions bornées à valeurs dans K définies sur un même ensemble quelconque avec la norme du sup et la multiplication usuelle est une K-algèbre de banach unitaire et commutative.
Séries entières dans une K-algèbre de Banach
Une série entière dans une K-algèbre de Banach est une série dont le terme général, dépendant d'une variable x∈A s'écrit un=anxn.
Une telle série entière peut être convergente, ou absolument convergente pour certaines valeurs de la variable x.
Pour les critères d'absolue convergence étant donné que ||anxn||≤|an|.||x||n nous pouvons utiliser les critères de convergence des séries entières de nombres réels.
Un exemple important :
Dans toute K-algèbre de Banach la série entière de terme général un=xn est absolument convergente pour ||x||<1. En outre si A est unitaire sa somme vaut (1-x)-1, (l'inverse de 1-x).
En effet si sn(x) est la n-ième somme partielle de la série (1-x).sn(x)=1-xn ; il suffit donc de constater que limn→∞ xn=0 si ||x||<1.
Ce résultat très simple a une conséquence importante.
Dans toute K-algèbre de Banach commutative unitaire, l'ensemble des éléments inversibles est ouvert.
En effet si a est un élément inversible de A pour tout b tel que ||b/a||<1 on a $$(a-b)^{-1}=a^{-1}.\sum_{k=0}^{\infty }\left ( \frac{b}{a} \right )^{k}$$
Dans toute algèbre de Banach il devient possible de définir les fonctions exponentielle, sinus, cosinus, et les fonctions hyperboliques. C'est un remarque qui prend toute son importance dans la théorie des systèmes d'équations différentielles.