Ensembles équicontinus

Equicontinuité

E désigne ici un espace métrique, F un espace normé et H une partie de l'espace $\mathfrak{B}_{F}(E)$ des fonctions bornées définies sur E et à valeurs dans F.

On dit que H est équicontinue en un point x0 de E, si pour tout ε>0 il existe un δ>0 tel que la relation d(x0,x)≤δ implique ||f(x)-f(x0)||≤ε pour toute f∈H.

Le point important dans cette définition étant que δ est indépendant de f.

On dit que H est équicontinue sur E si H est équicontinue en tout point de E.

Exemples

Supposons qu'il existe deux constantes c, α>0 telles que ||f(x)-f(y)||≤c(d(x,y))α pour toute f∈H et tout couple de points (x,y) de E, alors H est équicontinue.
Tout ensemble fini de fonctions qui sont continues en un point x0 (resp. sur E) est équicontinu en x0, (resp. sur E).
Plus généralement toute réunion finie d'ensembles équicontinus en x0 (resp. sur E) est équicontinue en x0 (resp. sur E).

Soit (fn) une suite de fonctions dans $\mathfrak{B}_{F}(E)$ qui converge simplement vers une fonction g et est équicontinue en x0 (resp. sur E). Alors g est continue en x0 (resp. équicontinue sur E).
En effet, supposons ||fn(x0)-fn(x)||≤ε pour tout x tel que d(x,x0)≤δ et tout n ; alors , d'après le principe de prolongement des inégalités, on a ||g(x0)-g(x)||≤ε pour tout x tel que d(x,x0)≤δ.

Dans l'espace $\mathfrak{C}_{F}^{\infty }(E)$, l'adhérence de toute partie équicontinue est équicontinue.

Cela résulte immédiatement de cette caractérisation de l'adhérence et de la démonstration du théorème précédent.

On suppose que F est un espace de Banach, (fn) une suite équicontinue sur E dans $\mathfrak{C}_{F}^{\infty }(E)$ et que pour tout point x d'un sous-ensemble D dense dans E, la suite (fn(x)) est convergente dans F. Alors la suite (fn) converge simplement vers une fonction continue g.
Comme F est complet, il suffit de démontrer que, pour tout x∈E (fn(x)) est une suite de Cauchy dans F.
Mais pour tout ε>0 il existe δ>0 tel que la relation d(x,y)≤δ implique ||fn(x)-fn(y)||≤ε/3 pour tout n.
D'autre part, il existe y∈D tel que d(x,y)≤δ et par hypothèse, il existe un n0 tel que ||fm(y)-fn(y)||≤ε/3 pour m≥n0 et n≥n0.
Il en résulte que pour m≥n0, n≥n0 on a ||fm(x)-fn(x)||≤ε. CQFD.

On suppose que E est un espace métrique compact, (fn) une suite équicontinue dans $\mathfrak{C}_{F}(E)$. Si (fn) converge simplement vers g dans E, elle converge uniformément vers g dans E
Étant donné ε>0, pour tout x∈E, il existe un voisinage V(x) tel que la relation y∈V(x) implique ||fn(x)-fn(y)||≤ε/3 pour tout n.
Recouvrons E par un nombre fini de voisinages V(xi).
Il existe un entier n0 tel que pour tout n≥n0 on ait ||g(xi)-fn(xi)||≤ε/3 pour tous les indices i.
Mais tout x∈E appartient à l'un des V(xi) et par suite ||fn(x)-fn(xi)||≤ε/3 pour tout n. En faisant tendre n vers ∞ on obtient ||g(x)-g(xi)||≤ε/3. par suite on a ||g(x)-fn(x)||≤ε pour tout n≥n0 et tout x∈E.

Théorème d'Ascoli

Voici maintenant l'énoncé du Théorème d'Ascoli démontré par les mathématiciens italiens Giulio Ascoli (né le 20 janvier 1843 à Trieste et mort le 12 juillet 1896 à Milan) et Cesare Arzelà (né le 6 mars 1847 à Santo Stefano di Magra et mort le 15 mars 1912 dans la même ville) :

On suppose que F est un espace de Banach et E un espace métrique compact. Pour qu'une partie H de l'espace de Banach $\mathfrak{C}_{F}(E)$ soit relativement compacte, il faut et il suffit que H soit équicontinue et que, pour tout x de E, l'ensemble H(x) de tous les les f(x) tels que f∈H soit relativement compact dans F.

C'est une propriété nécessaire :

Si H est relativement compact, d'après ce résultat pour tout ε>0, il existe un nombre fini de fonctions fi∈H, telles que pour toute f∈H il existe un indice i tel que ||f-fi||≤ε/3.
Il en résulte déjà que, pour tout x∈E, on a ||f(x)-fi(x)||≤ε/3, et comme F est complet ceci montre toujours d'après le même résultat que H(x) est relativement compact. D'autre part, soit V un voisinage de x tel que y∈V implique ||fi(y)-fi(x)||≤ε/3 pour tout indice i.
Alors pour toute f∈H, y∈V implique ||f(y)-f(x)||≤ε, ce qui prouve que H est équicontinu.

C'est une propriété suffisante :

Comme $\mathfrak{C}_{F}(E)$ est complet d'après ce résultat et cet autre, en utilisant ce théorème, il suffit de démontrer que H est précompact.
Étant donné ε>0, pour tout x∈E, soit V(x) un vosinage de x tel que y∈V(x) implique ||f(y)-f(x)||≤ε/4 pour toute f ∈H.
Recouvrons E par un nombre fini de voisinages (V(xi)) (1≤i≤m).
D'autre part, chacun des ensembles H(xi) est relativement compact dans F par hypothèse ; il en est donc de même de leur réunion K.
Soit (cj) 1≤j≤n une partie finie de K telle que tout point de K soit dans une boule ayant pour centre l'un des cj et pour rayon ε/4.
Soit alors Φ l'ensemble fini de toutes les applications i →φ(i) de [1,m] dans [1,n] (intervalles de ℕ).
Pour toute φ∈Φ, notons Lφ l'ensemble de toutes les fonctions f∈H telles que, pour tout indice i∈[1,m], on ait ||f(xi)-cφ(i)||≤ε/4.
Quelques uns des Lφ peuvent être vides, mais il résulte de la définition des cj que H est recouvert par la réunion des Lφ.
Pour achever la démonstration, il nous suffit de démontrer que le diamètre de chaque Lφ est ≤ε.
Mais si f et g sont toutes deux dans Lφ, pour tout y∈E il existe un i tel que y∈V(xi), donc ||f(y)-f(xi)||≤ε/4 et ||g(y)-g(xi)||≤ε/4.
Comme ||f(xi)-g(xi)||≤ε/2 par définition on a ||f(y)-g(y)||≤ε pour tout y∈E, c'est à dire ||f-g||≤ε. CQFD.

Exercices

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