Primitives et intégrales

Soit f une application d'un intervalle I⊆ℝ dans un espace de Banach F.

On dit qu'une application continue g de I dans F est une primitive de f sur I, s'il existe un ensemble au plus dénombrable D⊆I tel que pour tout x∈I-D g soit différentiable en en x et g'(x)=f(x).

Si g1 et g2 sont deux primitives de f dans I, alors g1-g2 est constante dans I.

Cela résulte immédiatement de ce théorème appliqué au cas M=0.

Soit I un intervalle de ℝ. Toute application réglée de I dans F a une primitive dans I.
Tout intervalle I⊆ℝ, non réduit à un point est la réunion d'une suite croissante d'intervalles compacts Jn. Pour établir qu'une fonction f définie dans I a une primitive, il suffit de la faire pour la restriction de f à chacun des Jn.
En effet si x0 est un point intérieur à J1, et si pour tout n gn est la primitive dans Jn de la restriction de f à Jn, telle que gn(x0)=0, qui est unique d'après le résultat précédent, alors la restriction de gn+1 à Jn est une primitive de f dans Jn s'annulant en x0, donc égale à gn.
On peut alors définir l'application g de I dans F, comme égale à gn dans chacun des Jn, et il est clair que g est une primitive de f sur I.
On peut donc, pour la démonstration du théorème supposer I compact. Mais d'après ce résultat et cet autre théorème, il suffit de démontrer le théorème pour les fonctions en escaliers.
Supposons que fsoit une fonction en escalier et (xi)0≤i≤n une subdivision de I, telle que f soit constante et égale à ci dans chaque sous-intervalle ]xi,xi+1[.
On définit g dans chaque intervalle [xi,xi+1]0≤i≤n par :
$$g(x)=c_{i}\left ( x-x_{i} \right )+\sum_{k=0}^{i-1}c_{k}\left ( x_{k+1}-x_{k} \right )$$
Il est facile de vérifier que g est une primitive de f.

Une primitive d'une fonction en escalier est aussi appelée une fonction affine par morceaux.

Si g est une primitive d'une application continue f de I dans F, alors g a, en tout point x∈I une dérivée par rapport à I égale à f(x).
En effet il résulte de ce théorème, que pour tout intervalle [x,x+λ]⊆I :
$$\left \| g(x+y)-g(x)-f(x).y \right \|\leqslant y \sup_{0\leqslant \eta \leqslant \lambda }\left \| f(x+\eta )-f(x) \right \|$$
pour 0≤y≤λ et $\sup_{0\leqslant \eta \leqslant \lambda }\left \| f(x+\eta )-f(x) \right \|$ est arbitrairement petit avec λ par hypothèse de continuité.

Nous rappelons la définition de l'intégrale définie d'une fonction réglée sur un intervalle compact.
Pour toute fonction réglée f une intégrale définie peut être calculée au moyen d'une primitive :

Si f est une fonction réglée sur [a,b] et si g est une primitive quelconque de f sur [a,b] :
$$\int_{a}^{b}f(t)dt=g(b)-g(a)$$
Les membres de gauche et de droite étant linéaires, il suffit de démontrer l'égalité pour les fonctions en escalier sur [a,b], le théorème sera alors établi par densité. Or ce théorème est évident pour des fonctions constantes. En outre une fonction en escalier est une combinaison linéaire de fonctions constantes sur des intervalles.

Chaque règle de dérivation formelle, donnera donc une formule correspondante de calcul intégral. Nous énonçons ici les plus importantes.
Règle dite du 'changement de variable' :

Soit φ une primitive à valeurs réelles d'une fonction réglée définie dans un intervalle I. Soit f une fonction réglée définie dans un intervalle J⊇φ(I) ; alors si f est une fonction continue ou bien si φ est une fonction monotone, quels que soient les deux points a et b de I :
$$\int_{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi ^{'}(t)dt=\int_{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)dx$$

Nous utilisons ici la convention :
$$\int_{a}^{b}f(t)dt=-\int_{b}^{a}f(t)dt$$ qui permet de donner un sens à des intégrales définies pour lesquelles la borne inférieure est plus grande que la borne supérieure. Le seul point à vérifier est que t→ f(φ(t)).φ'(t) est réglée, ce qui résulte des hypothèses et de la définition des fonctions réglées.
Si g est une primitive de f les deux membres de la formule sont égaux à g(φ(b))-g(φ(a)).
Règle dite "d'intégration par parties" :

Soient f et g des primitives de fonctions réglées définies dans un intervalle I et prenant leurs valeurs dans deux espaces de Banach E et F respectivement.
Soit (x,y) →[x.y] une application bilinéaire continue de E×F dans un espace de Banach G ; alors quels que soient les points a et b de I, on a :
$$\int_{a}^{b}[f(t).g'(t)]dt=[f(b).g(b)]-[f(a).g(a)]-\int_{a}^{b}[f'(t).g(t)]dt$$

Il suffit de vérifier que [f.g'] et [f'.g] sont des fonctions réglées. la formule résulte alors de ce résultat.

Soit f une application réglée de I dans un espace de Banach F et soit u une application linéaire continue de F dans un espace de banach G, alors :
$$\int_{a}^{b}u(f(t))dt=u\left ( \int_{a}^{b}f(t)dt \right )$$

Cela résulte simplement du théorème sur la dérivation des applications linéaires et du théorème de dérivation des fonctions composées.
Le théorème de calcul intégral correspondant au théorème de la moyenne s'écrit :

Pour toute fonction réglée f sur un intervalle [a,b] :
$$\left \| \int_{a}^{b}f(t)dt \right \|\leqslant \int_{a}^{b}\left \| f(t) \right \|dt\leqslant \left ( b-a \right )\sup_{x\in \left [ a,b \right ]}\left \| f(x) \right \|$$

Il suffit de vérifier que x→||f(x)|| est réglée et d'appliquer ce théorème.
Explicitons enfin, pour les intégrales les résultats correspondant à ce théorème et cet autre.

Si une suite (gn) de fonctions réglées, définies sur un intervalle compact I=[a,b], converge uniformément vers g sur I, alors la suite $\left ( \int_{a}^{b}g_{n}(t)dt \right )$ converge vers $\left ( \int_{a}^{b}g_{n}(t)dt \right )$.

On rappelle que g est réglée d'après ce résultat.

Si une série (un)de fonctions réglées définies dans un intervalle compact I=[a,b] est normalement convergente sur I, alors si $u=\sum_{n=0}^{\infty }u_{n}$ la série de terme général $\int_{a}^{b}u_{n}(t)dt$ est absolument convergente et :
$$\int_{a}^{b}u(t)dt= \sum_{n=0}^{\infty }\int_{a}^{b}u_{n}(t)dt$$

Exercices

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