Soit f une application d'un intervalle I⊆ℝ dans un espace de Banach F.
Cela résulte immédiatement de ce théorème appliqué au cas M=0.
En effet si x0 est un point intérieur à J1, et si pour tout n gn est la primitive dans Jn de la restriction de f à Jn, telle que gn(x0)=0, qui est unique d'après le résultat précédent, alors la restriction de gn+1 à Jn est une primitive de f dans Jn s'annulant en x0, donc égale à gn.
On peut alors définir l'application g de I dans F, comme égale à gn dans chacun des Jn, et il est clair que g est une primitive de f sur I.
On peut donc, pour la démonstration du théorème supposer I compact. Mais d'après ce résultat et cet autre théorème, il suffit de démontrer le théorème pour les fonctions en escaliers.
Supposons que fsoit une fonction en escalier et (xi)0≤i≤n une subdivision de I, telle que f soit constante et égale à ci dans chaque sous-intervalle ]xi,xi+1[.
On définit g dans chaque intervalle [xi,xi+1]0≤i≤n par :
$$g(x)=c_{i}\left ( x-x_{i} \right )+\sum_{k=0}^{i-1}c_{k}\left ( x_{k+1}-x_{k} \right )$$
Il est facile de vérifier que g est une primitive de f.
$$\left \| g(x+y)-g(x)-f(x).y \right \|\leqslant y \sup_{0\leqslant \eta \leqslant \lambda }\left \| f(x+\eta )-f(x) \right \|$$
pour 0≤y≤λ et $\sup_{0\leqslant \eta \leqslant \lambda }\left \| f(x+\eta )-f(x) \right \|$ est arbitrairement petit avec λ par hypothèse de continuité.
Nous rappelons la définition de l'intégrale définie d'une fonction réglée sur un intervalle compact.
Pour toute fonction réglée f une intégrale définie peut être calculée au moyen d'une primitive :
$$\int_{a}^{b}f(t)dt=g(b)-g(a)$$
Chaque règle de dérivation formelle, donnera donc une formule correspondante de calcul intégral. Nous énonçons ici les plus importantes.
Règle dite du 'changement de variable' :
$$\int_{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi ^{'}(t)dt=\int_{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)dx$$
Nous utilisons ici la convention :
$$\int_{a}^{b}f(t)dt=-\int_{b}^{a}f(t)dt$$ qui permet de donner un sens à des intégrales définies pour lesquelles la borne inférieure est plus grande que la borne supérieure. Le seul point à vérifier est que t→ f(φ(t)).φ'(t) est réglée, ce qui résulte des hypothèses et de la définition des fonctions réglées.
Si g est une primitive de f les deux membres de la formule sont égaux à g(φ(b))-g(φ(a)).
Règle dite "d'intégration par parties" :
Soit (x,y) →[x.y] une application bilinéaire continue de E×F dans un espace de Banach G ; alors quels que soient les points a et b de I, on a :
$$\int_{a}^{b}[f(t).g'(t)]dt=[f(b).g(b)]-[f(a).g(a)]-\int_{a}^{b}[f'(t).g(t)]dt$$
Il suffit de vérifier que [f.g'] et [f'.g] sont des fonctions réglées. la formule résulte alors de ce résultat.
$$\int_{a}^{b}u(f(t))dt=u\left ( \int_{a}^{b}f(t)dt \right )$$
Cela résulte simplement du théorème sur la dérivation des applications linéaires et du théorème de dérivation des fonctions composées.
Le théorème de calcul intégral correspondant au théorème de la moyenne s'écrit :
$$\left \| \int_{a}^{b}f(t)dt \right \|\leqslant \int_{a}^{b}\left \| f(t) \right \|dt\leqslant \left ( b-a \right )\sup_{x\in \left [ a,b \right ]}\left \| f(x) \right \|$$
Il suffit de vérifier que x→||f(x)|| est réglée et d'appliquer ce théorème.
Explicitons enfin, pour les intégrales les résultats correspondant à ce théorème et cet autre.
On rappelle que g est réglée d'après ce résultat.
$$\int_{a}^{b}u(t)dt= \sum_{n=0}^{\infty }\int_{a}^{b}u_{n}(t)dt$$