Boules, sphères, diamètres

Définitions

La terminologie qui suit est, bien sûr, empruntée à la géométrie euclidienne classique de l'espace $\mathbb{R}$3.

(E,d) désigne un espace métrique, x un point de E et r un nombre réel > 0.

On appelle boule ouverte de centre x et de rayon r l'ensemble
B(x,r)={y ∈ E| d(x,y) < r}
On appelle boule fermée de centre x et de rayon r l'ensemble
B'(x,r)={y ∈ E| d(x,y) ≤ r}
On appelle sphère de centre x et de rayon r l'ensemble
S(x,r)={y ∈ E| d(x,y) = r}
Pour tout sous-ensemble non vide A de E le diamètre de A est : δ(A)=supx∈A,y∈Ad(x,y); c'est un nombre réel positif ou bien +∞.
Un ensemble non vide est dit borné si son diamètre est fini.

Exemples

Reprenons la distance d1 donnée en exemple. Les boules de centre x et de rayon r sont des intervalles de centre x et de longueur 2r. Les sphères sont réduites à deux points.
Dans cet exemple un intervalle comme [1,2] est un ensemble borné, la demi-droite [0,+∞[ ne l'est pas.

Reprenons la distance d2 donnée en exemple. Les boules sont des disques et les sphères des cercles.
Dans cet exemple le diamètre d'un carré de côté 1 vaut √2 (longueur d'une diagonale). Un demi plan n'est pas borné, une droite n'est pas bornée.

Reprenons la distance d3 donnée en exemple. Boules et sphères correspondent aux figures usuelles de l'espace.

Une boule de centre A et un point B de la sphère correspondante :

Reprenons la distance d5 donnée en exemple

Voici, en dimension 2, l'aspect de la boule de centre O et de rayon 1 :

Reprenons la distance d6 donnée en exemple

Voici, en dimension 2, l'aspect de la boule de centre O et de rayon 1 :

Reprenons la distance d8 donnée en exemple

Si r est un nombre vérifiant 0 < r < 1, alors B(x,r)=B'(x,r)={x}.
Si r est un nombre vérifiant 1 < r , alors B(x,r)=B'(x,r)=E.
S(x,1)=E-{x}
B'(x,1)=E
Tous les ensembles sont bornés.
Le diamètre de tout ensemble comportant au moins deux points est égal à 1.

Propriétés

Il résulte des définitions qu'avec les notations précédentes:

B'(x,r)=B(x,r) ∪ S(x,r)
A ⊆ B ⇒ δ(A) ≤ δ(B)
δ(A)=0 si et seulement si A est réduit à un seul point.
Toute boule B (ouverte ou fermée) de rayon r est bornée et δ(B) ≤ 2r.
En effet si x et y sont dans B(a,r), d(x,y) ≤ d(x,a)+d(y,a) ≤ r+r=2r.
Si un point x n'appartient pas à une boule B(a,r) alors d(x,B(a,r)≥ d(a,x)-r. Le même résultat vaut pour les boules fermées.
En effet, d'après l'hypothèse d(a,x) ≥ r ; ∀ y ∈ B(a,r) on a
d(x,y) ≥ d(a,x)-d(a,y)≥ d(a,x)-r.
Si A est un sous-ensemble non vide de E, x et y deux points de E, alors:
|d(x,A)-d(y,A)| ≤ d(x,y)
En effet, ∀ z ∈ A, d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z), donc
d(x,A)=infz∈Ad(x,z)≤infz∈A(d(x,y)+d(y,z))=d(x,y)+infz∈Ad(y,z)=d(x,y)+d(y,A).
Cette relation étant symétrique en x et y on a également :
d(y,A) ≤ d(x,y)+d(x,A).
La réunion de deux ensembles A et B bornés est également bornée et : δ(A ∪ B) ≤ d(A,B)+δ(A)+δ(B)
Soient a un point de A et b un point de B.
Soient maintenant x et y ∈ A∪B. Si x et y sont dans A on a d(x,y) ≤ δ(A).
Si x et y sont dans B on a d(x,y) ≤ δ(B).
Supposons maintenant que x ∈ A et y ∈ B
On a alors d(x,y) ≤ d(x,a)+d(a,b)+d(b,y)
d'où d(x,y) ≤ d(a,b)+δ(A) + δ(B)
et donc δ(A ∪B) ≤ d(a,b)+δ(A) + δ(B)
Ceci étant vrai quels que soient a ∈ A et b ∈ B, on a
δ(A∪B) ≤ d(A,B)+δ(A)+δ(B).

Exercices

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