La lecture de ce chapitre suppose parfaitement connues la théorie algébrique des espaces vectoriels. On pourra par exemple consulter le module d'algèbre linéaire du cours élémentaire du même auteur. Nous supposons également connu l'intégralité du chapitre précédent consacré aux espaces métriques et topologiques.
Nous ajoutons ici aux espaces métriques et/ou topologiques une structure d'espace vectoriel. Nous verrons que dans de nombreux cas intéressants la métrique sur un espace vectoriel découle d'une fonction particulière qu'on appelle une "norme". Nous nous intéressons donc d'un point de vue topologique à des sous-ensembles qui sont des sous-espaces d'un point de vue algébrique (droites, plans, hyperplans). Nous nous intéressons également à l'éventuelle continuité des applications linéaires et en particulier des formes linéaires.
Nous verrons que la théorie des séries des séries convergentes et absolument convergentes est tout à fait similaire à la même théorie dans le cas des séries à termes réels.

• Espaces vectoriels topologiques
• Espaces normés et espaces de Banach
• Séries dans un espace normé
• Séries multiples;
• Sous-espaces d'un espace normé
• Produits finis d'espaces normés
• Applications multilinéaires continues
• Algèbres de Banach
• Normes équivalentes
• Espaces d'applications multilinéaires continues
• Hyperplans fermés et formes linéaires continues
• Espaces normés de dimension finie
• Espaces normés séparables
• Connexité dans les espaces normés réels
• Exercices