Dans toute cette page E et F désigne des espaces de Banach. Si a est un point de E et r un réel positif B(a,r) désigne la boule ouverte de centre a et de rayon r. On suppose connue la définition d'une application k-lipschitzienne, ainsi que d'une application contractante.
Voici maintenant un premier lemme technique :
Soit f:B(a,r)→E une application continue telle que φ(x)=x-f(x)soit contractante avec k<1, et soit b=f(a). Alors il existe un ouvert V contenant a et contenu dans B(a,r) tel que f soit un homéomorphisme de V sur la boule B(b,(1-k)r), de plus f-1 est $\frac{1}{1-k}$-lipschitzienne.
Montrons d'abord que B(b,(1-k)r)⊆f(B(a,r)).
Si y∈B(b,(1-k)r) on définit la suite (xn) par récurrence par x0=a et xn+1=y+φ(xn).
Pour démontrer que cette suite est bien définie il faut vérifier que xn∈B(a,r) ∀n.
On montre cela par récurrence. La propriété est évidemment vrai pour n=0 par le choix de x0.
Nous allons démontrer que pour n≥1 :
$$\left \| x_{n}-a \right \|\leqslant \frac{1-k^{n}}{1-k}.\left \| y-b \right \| \tag{1}$$
Notre proposition va en résulter d'après le choix de y.
Pour n=1 on a x1-a=y-b l'inégalité (1) est donc vraie pour n=1 d'après les hypothèses.
Supposons (1) vraie à l'ordre n. Nous avons :
$$\left \| x_{n+1}-x_{n} \right \|=\left \| \varphi (x_{n})-\varphi (x_{n+1}) \right \|\leqslant k\left \| x_{n}-x_{n-1} \right \|$$
qui nous donne par itération :
$$\left \| x_{n+1}-x_{n} \right \|\leqslant k^{n}\left \| x_{1}-a \right \|\leqslant k^{n}\left \| y-b \right \|$$
L'inégalité du triangle nous donne :
$$\left \| x_{n+1}-a \right \|\leqslant \left \| x_{n}-a \right \|+\left \| x_{n+1}-x_{n} \right \|\leqslant \frac{1-k^{n}}{1-k}\left \| y-b \right \|+k^{n}\left \| y-b \right \|=\frac{1-k^{n+1}}{1-k}\left \| y-b \right \|$$
(xn) est donc une suite de Cauchy qui converge vers un point x qui appartient à B(a,r) car par passage à la limite dans (1)
$$\left \| x-a \right \|\leqslant \frac{1}{1-k}\left \| y-b \right \|< r$$
Par continuité de φ et par passage à la limite dans xn+1=y+φ(xn), il vient x=y+φ(x) soit y=f(x). Donc tout y choisi comme il est dit dans l'énoncé possède un antécédent par f.
Montrons maintenant que x est unique.
On a toujours :
$$\left \| f(x)-f(x') \right \|\geqslant \left \| x-x' \right \|+\left \| \varphi (x)-\varphi (x') \right \|\geqslant \left ( 1-k \right )\left \| x-x' \right \| \tag{2}$$
de sorte que f(x)=f(x') ⇒ x=x'.
On peut maintenant définir l'application g qui à tout y de B(b,(1-k)r) associe l'unique x défini comme ci-dessus, vérifiant donc y=f(x).
La relation (2) implique que g est $\frac{1}{1-k}$-lipschitzienne, donc continue.
Posons maintenant V=f-1(B(b,(1-k)r)). f étant continue V est ouvert. Alors g:B(b,(1-k)r) → V est bijective et continue.
Si y∈B(b,(1-k)r) on définit la suite (xn) par récurrence par x0=a et xn+1=y+φ(xn).
Pour démontrer que cette suite est bien définie il faut vérifier que xn∈B(a,r) ∀n.
On montre cela par récurrence. La propriété est évidemment vrai pour n=0 par le choix de x0.
Nous allons démontrer que pour n≥1 :
$$\left \| x_{n}-a \right \|\leqslant \frac{1-k^{n}}{1-k}.\left \| y-b \right \| \tag{1}$$
Notre proposition va en résulter d'après le choix de y.
Pour n=1 on a x1-a=y-b l'inégalité (1) est donc vraie pour n=1 d'après les hypothèses.
Supposons (1) vraie à l'ordre n. Nous avons :
$$\left \| x_{n+1}-x_{n} \right \|=\left \| \varphi (x_{n})-\varphi (x_{n+1}) \right \|\leqslant k\left \| x_{n}-x_{n-1} \right \|$$
qui nous donne par itération :
$$\left \| x_{n+1}-x_{n} \right \|\leqslant k^{n}\left \| x_{1}-a \right \|\leqslant k^{n}\left \| y-b \right \|$$
L'inégalité du triangle nous donne :
$$\left \| x_{n+1}-a \right \|\leqslant \left \| x_{n}-a \right \|+\left \| x_{n+1}-x_{n} \right \|\leqslant \frac{1-k^{n}}{1-k}\left \| y-b \right \|+k^{n}\left \| y-b \right \|=\frac{1-k^{n+1}}{1-k}\left \| y-b \right \|$$
(xn) est donc une suite de Cauchy qui converge vers un point x qui appartient à B(a,r) car par passage à la limite dans (1)
$$\left \| x-a \right \|\leqslant \frac{1}{1-k}\left \| y-b \right \|< r$$
Par continuité de φ et par passage à la limite dans xn+1=y+φ(xn), il vient x=y+φ(x) soit y=f(x). Donc tout y choisi comme il est dit dans l'énoncé possède un antécédent par f.
Montrons maintenant que x est unique.
On a toujours :
$$\left \| f(x)-f(x') \right \|\geqslant \left \| x-x' \right \|+\left \| \varphi (x)-\varphi (x') \right \|\geqslant \left ( 1-k \right )\left \| x-x' \right \| \tag{2}$$
de sorte que f(x)=f(x') ⇒ x=x'.
On peut maintenant définir l'application g qui à tout y de B(b,(1-k)r) associe l'unique x défini comme ci-dessus, vérifiant donc y=f(x).
La relation (2) implique que g est $\frac{1}{1-k}$-lipschitzienne, donc continue.
Posons maintenant V=f-1(B(b,(1-k)r)). f étant continue V est ouvert. Alors g:B(b,(1-k)r) → V est bijective et continue.
Soit U un ouvert de E et f:U→F une application continue, strictement différentiable en a∈U et telle que f'(a)∈Isom(E;F) (homéomorphiqme linéaire).
Alors il existe un voisinage V de a et un voisinage W de b=f(a) tels que f soit un homéomorphisme de V sur W. De plus l'inverse de f est strictement différentiable en b.
Alors il existe un voisinage V de a et un voisinage W de b=f(a) tels que f soit un homéomorphisme de V sur W. De plus l'inverse de f est strictement différentiable en b.
On considère $g=f'(a)^{-1}\circ f : U\rightarrow F$ alors $g'(x)=f'(a)^{-1}\circ f'(x)$ et g'(a)=IdE.
L'hypothèse de stricte différentiabilité entraîne que ∀k>0 ∃r>0 tel que :
$$x,y \in B(a,r) \Rightarrow \left \| g(x)-g(y)-(x-y) \right \|\leqslant k\left \| x-y \right \|$$
Il suffit de choisir k tel que 0<k<1 et d'appliquer la proposition précédente.
L'hypothèse de stricte différentiabilité entraîne que ∀k>0 ∃r>0 tel que :
$$x,y \in B(a,r) \Rightarrow \left \| g(x)-g(y)-(x-y) \right \|\leqslant k\left \| x-y \right \|$$
Il suffit de choisir k tel que 0<k<1 et d'appliquer la proposition précédente.
Voici maintenant l'énoncé du théorème dit "d'inversion locale" :
Soit f de U dans F de classe C1. Supposons qu'en un point a∈U on ait f∈Isom(E;F), alors il existe un voisinage ouvert V de a et un voisinage ouvert W de b=f(a) tels que f soit un C1-difféomorphisme de V sur W.
On sait d'après ce théorème que f est strictement différentiable en tout point de U.
Soit V' le voisinage de a donné par l'énoncé précédent.
En vertu de cette propriété l il existe un voisinage ouvert V de a V⊆V' tel que f'(x)∈Isom(E,F) ∀x∈V.
Posons W=f(V). Puisque f est un homéomorphisme de V' sur W'=f(V'), f est nécessairement un homéomorphisme de V sur W. il suffit maintenant d'appliquer le second théorème de la présente page.
Soit V' le voisinage de a donné par l'énoncé précédent.
En vertu de cette propriété l il existe un voisinage ouvert V de a V⊆V' tel que f'(x)∈Isom(E,F) ∀x∈V.
Posons W=f(V). Puisque f est un homéomorphisme de V' sur W'=f(V'), f est nécessairement un homéomorphisme de V sur W. il suffit maintenant d'appliquer le second théorème de la présente page.
Ce théorème admet le corollaire suivant.
Soit une application de classe C1 définie sur un ouvert U de E et à valeurs dans F. On fait sur f les hypothèses suivantes :
- f est injective
- pour tout x∈U f'(x)∈Isom(E;F)
Dans ces conditions f(U)=V est un ouvert de F et f est un C1-difféomorphisme de U sur V.
Il suffit en effet de vérifier que par le théorème d'inversion locale V est ouvert comme réunion d'ouverts.On applique alors ce résultat .