D'après ce théorème, nous savons que φ est différentiable et que :
φ'(x₁,x₂).(h₁,h₂)=φ(h₁,x₂)+φ(x₁,h₂)
Cette relation montre que l'application :
$$\varphi ':E_{1}\times E_{2}\rightarrow \mathfrak{L}\left ( E_{1},E_{2};F \right )$$
est une fonction linéaire continue du point (x₁,x₂)∈E₁×E₂. Donc sa dérivée φ'' est constante.
La valeur de cette constante est l'élément :
$$((h_{1},h_{2}),(k_{1},k_{2}))\rightarrow \varphi (h_{1},k_{2})+\varphi (k_{1},h_{2})$$
E₁×E₂ est pris ici avec sa structure d'espace de Banach produit.

3. résulte évidemment de 2. de sorte qu'il suffit de montrer 1. et 2.
Les points 1. et 2. du théorème sont vrais pour n=1 (revoir cette page), et on a :
$$h'(x)=g'(f(x))\circ f'(x) \tag{1}$$
On va prouver 1. et 2. par récurrence.
Supposons donc le théorème vrai à l'ordre n-1 avec n≥2. Montrons par exemple 2. (le cas de 1. se traite de la même manière).
On veut montrer que h est de classe Cⁿ ou, ce qui revient au même que h' est de classe C^n-1
Or la relation (1) exprime que h' est composée de deux applications :

1. L'application x→(g'(f(x)),f'(x)) de U dans $\mathfrak{L}(F;G)\times \mathfrak{L}(E;F)$
2. L'application (v,u)→vou de $\mathfrak{L}(F;G)\times \mathfrak{L}(E;F)$ dans $\mathfrak{L}(E;G)$

La seconde application est bilinéaire et continue car la norme de la composée est inférieure au produit des normes (revoir cette page). elle est donc de classe C^∞ d'après le théorème qui précède.
La première application prend ses valeurs dans un espace produit ; ses deux composantes sont :
x→ g'(f(x)) et x→f'(x).
Par hypothèse la seconde composante est de classe C^n-1.
Quand à la première composante elle est elle-même composée de :
$$U\overset{f}{\rightarrow}V\overset{g'}{\rightarrow}\mathfrak{L}(F;G)$$
f étant de classe Cⁿ est a fortiori de classe C^n-1; g' est aussi de classe C^n-1. Par hypothèse de récurrence, la composée g'of est de classe C^n-1.

D'après ce théorème on sait déjà que φ est de classe C¹, et que :
$$\varphi(u).h=-u^{-1 }\circ h \circ u^{-1} \text{ pour }h\in \mathfrak{L}(E;F) \tag{2}$$
Introduisons l'application bilinéaire continue :
$$\psi : \mathfrak{L}(F;E)\times \mathfrak{L}(F;E)\rightarrow \mathfrak{L}(\mathfrak{L}(E;F);\mathfrak{L}(F;E))$$
définie par :
$$\psi (v,w).h=-v\circ h \circ w$$
La relation (2) s'écrit alors :
$$\varphi '(u)=\psi (\varphi (u),\varphi (u)) \tag{3}$$
On va en déduire par récurrence que φ est de classe Cⁿ. On le sait pour n=1. Soit n≥2 et supposons prouvé que φ est de classe C^n-1. on va montrer que φ' est de classe C^n-1, donc que φ est de classe Cⁿ.
Or (3) exprime que l'application φ' est composée de deux applications :

1. L'application u→(φ(u),φ(u)) de Isom(E;F) dans $\mathfrak{L}(F;E)\times \mathfrak{L}(F;E)$
2. L'application bilinéaire ψ

La première est de classe C^n-1 par hypothèse de récurrence, et la seconde est de classe C^∞ par le premier théorème. Donc leur composée est de classe C^n-1 en raison du théorème précédent.

Pour n=1, il n'y a rien à démontrer.
De plus, on sait que pour y∈W :
$$g'(y)=(f'(g(y)))^{-1} \tag{4}$$
ceci exprime que g' est composée de 3 applications :

1. l'application g:W→V
2. l'application f': V→ Isom(E;F)
3. L'application u→u^-1 Isom(E;F)→Isom(F;E)

On va alors démontrer le théorème par récurrence sur n. Supposons le vrai à l'ordre n-1; alors sous les hypothèses de l'énoncé la deuxième et la troisième application ci-dessus sont de classe C^n-1. A vrai dire, la troisième, d'après le théorème précédent, est même de classe C^∞.
Quant à la première c'est g, donc par hypothèse de récurrence, elle est de classe C^n-1. Alors g', composée de 3 applications de classe C^n-1 est elle-même de classe C^n-1.