Exercices sur les produits scalaires
E désigne un espace pré-hilbertien réel, x et y deux vecteurs non nuls de E.
Montrer que :
$$\left \| \frac{x}{\left \| x \right \|}\pm \frac{y}{\left \| y \right \|} \right \|^{2}=2\pm 2\frac{\left ( x|y \right )}{\left \| x \right \|.\left \| y \right \|}$$
Montrer que :
$$\left \| \frac{x}{\left \| x \right \|}\pm \frac{y}{\left \| y \right \|} \right \|^{2}=2\pm 2\frac{\left ( x|y \right )}{\left \| x \right \|.\left \| y \right \|}$$
- En déduire une autre démonstration de l'inégalité de Cauchy Schwarz.
- En déduire qu'en cas d'égalité x et y sont forcément colinéaires.
Observer que le membre de droite est un nombre positif.
Compte tenu de la remarque de l'aide, le premier point se vérifie immédiatement.
Pour le second on a |(x|y)|=(x|y) ou |(x|y)|=-(x|y). de sorte qu'en cas d'égalité l'une au moins des deux quantités $\left \| \frac{x}{\left \| x \right \|}\pm \frac{y}{\left \| y \right \|} \right \|^{2}$ est nulle. CQFD.
Ces démonstrations ne font pas appel au signe du trinôme. Elles sont dues à Halmos. Malheureusement elles ne s'appliquent pas au cas complexe. Voir pour cela l'exercice qui suit.
Pour le second on a |(x|y)|=(x|y) ou |(x|y)|=-(x|y). de sorte qu'en cas d'égalité l'une au moins des deux quantités $\left \| \frac{x}{\left \| x \right \|}\pm \frac{y}{\left \| y \right \|} \right \|^{2}$ est nulle. CQFD.
Ces démonstrations ne font pas appel au signe du trinôme. Elles sont dues à Halmos. Malheureusement elles ne s'appliquent pas au cas complexe. Voir pour cela l'exercice qui suit.
Dans le cas complexe, montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que l'inégalité de Cauchy-Schwarz soit une égalité est que les deux vecteurs soient proportionnels.
Pour x et y dans E posons (x|y)=reiα où r= |(x|y)|.
Ecrire ensuite que pour tout t réel, si on pose λ=te-iα on a (x+λy|x+λy)≥0 et que cette dernière expression est un polynôme en t à valeurs réelles et toujours positive.
Ecrire ensuite que pour tout t réel, si on pose λ=te-iα on a (x+λy|x+λy)≥0 et que cette dernière expression est un polynôme en t à valeurs réelles et toujours positive.
Avec les notations de l'aide, l'hypothèse |(x|y)|=||x||.||y||, équivaut à dire que le discriminant du polynôme P(t) donné dans l'aide est nul.
Ce polynôme possède donc une racine double t0 et si λ0=te-iα, on a ||x+λ0y||=0 donc x=λ0y.
Ce polynôme possède donc une racine double t0 et si λ0=te-iα, on a ||x+λ0y||=0 donc x=λ0y.
Traitement de l'égalité dans l'inégalité de Minkowski.
E désigne un espace pré-hilbertien.
Supposons que ||u+v||=||u||+||v||.
En déduire que les vecteurs u et v sont positivement liés, c'est à dire qu'il existe un réel α≥0 tel que v=αu.
E désigne un espace pré-hilbertien.
Supposons que ||u+v||=||u||+||v||.
En déduire que les vecteurs u et v sont positivement liés, c'est à dire qu'il existe un réel α≥0 tel que v=αu.
Déduire de l'hypothèse que $\mathfrak{Re}((u|v))=||u||.||v||$ et utiliser les exercices précédents.
L'égalité entraîne $\mathfrak{Re}((u|v))^{2}=(u|u)(v|v)$ comme on a avec Cauchy Schwarz
$\mathfrak{Re}((u|v))^{2}\leqslant|(u|v)|^{2}\leqslant (u|u)(v|v)$
l'égalité entraîne |(u|v)|2=(u|u).(v|v). il existe donc α∈K tel que u=αv. Tout revient à montrer que α est réel et positif.
de (u|v)=α(v|v) et des hypothèses nous tirons que $\mathfrak{Re}(\alpha (v|v))\geqslant 0$ et $\mathfrak{Re}(\alpha (v|v))^{2}=|\alpha |^{2}(v|v)^{2}$
Nous en déduisons que $\mathfrak{Re}(\alpha )\geqslant 0$ et que $\mathfrak{Re}(\alpha )^{2}=|\alpha |^{2}$ qui prouve que α∈ℝ+ .
$\mathfrak{Re}((u|v))^{2}\leqslant|(u|v)|^{2}\leqslant (u|u)(v|v)$
l'égalité entraîne |(u|v)|2=(u|u).(v|v). il existe donc α∈K tel que u=αv. Tout revient à montrer que α est réel et positif.
de (u|v)=α(v|v) et des hypothèses nous tirons que $\mathfrak{Re}(\alpha (v|v))\geqslant 0$ et $\mathfrak{Re}(\alpha (v|v))^{2}=|\alpha |^{2}(v|v)^{2}$
Nous en déduisons que $\mathfrak{Re}(\alpha )\geqslant 0$ et que $\mathfrak{Re}(\alpha )^{2}=|\alpha |^{2}$ qui prouve que α∈ℝ+ .
Démontrer que la boule unité fermée B d’un espace pré_hilbertien réel est
strictement convexe i.e. que pour tout x, y ∈ B différents et tout t ∈ ]0, 1[,
||(1 − t)x + ty|| < 1.
strictement convexe i.e. que pour tout x, y ∈ B différents et tout t ∈ ]0, 1[,
||(1 − t)x + ty|| < 1.
Utiliser l'exercice précédent sur l'inégalité de Minkowski
Par l’inégalité triangulaire :
||(1-t)x+ty||≤(1-t)||x||+t||y||≤1
De plus, s’il y a égalité alors ||x|| = 1, ||y|| = 1 et les vecteurs (1 − t)x et ty sont
positivement liés.
Les vecteurs x et y étant unitaires et positivement liés, ils sont égaux. Ceci est
exclu.
||(1-t)x+ty||≤(1-t)||x||+t||y||≤1
De plus, s’il y a égalité alors ||x|| = 1, ||y|| = 1 et les vecteurs (1 − t)x et ty sont
positivement liés.
Les vecteurs x et y étant unitaires et positivement liés, ils sont égaux. Ceci est
exclu.
Exercices sur les projections orthogonales
Soit E le plan euclidien réel identifié à ℝ2. Soient A et B deux points distincts de E et [AB] le segment (convexe) qui les joint.
Pour tout point M de E explicitez le projeté de M sur [AB].
Pour tout point M de E explicitez le projeté de M sur [AB].
Introduire la projection orthogonale M' de M sur la droite (AB).
Trois cas peuvent se présenter.
- M' est sur le segment [AB].
- M' est à l'extérieur de [AB], du côté de A.
- M' est à l'extérieur de [AB] du côté de B.
- Dans le premier cas il est clair que M' est le point de [AB] le plus proche de M.(Utiliser le théorème de Pythagore)
- Dans le second cas A est le point de [AB] le plus proche de M.(Utiliser encore Pythagore)
- Dans le troisième cas B est le point de [AB] le plus proche de M (identique au cas précédent par symétrie).
Donc en résumé le projeté de M sur [AB] est soit une extrémité du segment, soit sa projection orthogonale sur la droite.
E=Mn(ℝ)désigne l'espace vectoriel réel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels.
Pour tout A∈E tA désigne la transposée de A.
Pour tout A∈E Tr(A) désigne la trace de A, c'est à dire la somme de ses éléments diagonaux.
F=Sn(ℝ) désigne le sous-espace de E formé des matrices symétriques.
G=An(ℝ) désigne le sous-espace de E formé des matrices antisymétriques.
Pour tout A∈E tA désigne la transposée de A.
Pour tout A∈E Tr(A) désigne la trace de A, c'est à dire la somme de ses éléments diagonaux.
F=Sn(ℝ) désigne le sous-espace de E formé des matrices symétriques.
G=An(ℝ) désigne le sous-espace de E formé des matrices antisymétriques.
- Montrer que (A|B)=Tr(tAB)définit un produit scalaire sur E
- Montrer que F et G sont supplémentaires et orthogonaux. Exprimer la distance de
$$M=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2\\
1& 2 & 3
\end{pmatrix}$$ à S3(ℝ) - Montrer que l'ensemble H des matrices de trace nulle est un sous-espace de E et donner sa dimension. Donner la distance de la matrice J dont tous les coefficients sont égaux à 1 au sous-espace H.
- Si A=(ai,j) et B=(bi,j) alors $(A|B)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{i,j}b_{i,j}$
- A∈F ⇔ A=tA et B∈G ⇔ tB=-B
- Tr est une forme linéaire sur E.
- Il résulte de l'expression donnée dans l'aide que (A|B) est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
- Toute matrice à la fois symétrique et antisymétrique est nécessairement nulle. F et G sont donc en somme directe.
Si A∈F et B∈G on a (A|B)=Tr(AB) et (B|A)=Tr(-BA)=-Tr(BA). Donc (A|B)=(B|A) entraîne (A|B)=0.
Si M∈E M+tM ∈ F et M-tM ∈G et on a $M=\frac{1}{2}\left ( M+^{t}M \right )+\frac{1}{2}\left ( M-^{t}M \right )$ .
La distance de M à S3(ℝ) est égale à la distance de M à son projeté orthogonal sur S3(ℝ).
$d\left ( M,S_{3}\left ( \mathbb{R} \right ) \right )=\frac{1}{2}\left \| M-^{t}M \right \|=2$ - H étant le noyau d'une forme linéaire c'est un hyperplan. La matrice unité In est orthogonale à H. Il en résulte que $d(J,H)=\frac{\left | \left ( I_{n}|J \right ) \right |}{\left \| I_{n} \right \|}=\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}$.
Exercices sur les sommes hilbertiennes
Soit E un espace de Hilbert avec une base orthonormale (en) pour tout naturel n on pose:
$a_{n}=e_{2n}$ et $b_{n}=e_{2n}+\frac{1}{n+1}e_{2n+1}$.
On désigne par A le sous-espace engendré par les an et par B le sous-espace engendré par les bn.
$a_{n}=e_{2n}$ et $b_{n}=e_{2n}+\frac{1}{n+1}e_{2n+1}$.
On désigne par A le sous-espace engendré par les an et par B le sous-espace engendré par les bn.
- Montrer que A∩B={0}, donc que la somme A+B est directe algébriquement.
- Montrer que A+B n'est pas une somme directe topologique
- Montrer que le sous-espace A+B est dense mais n'est pas fermé dans E.
- Considérer une relation linéaire liant les an et les bn.
- Examiner la projection sur A de la suite cn=bn-an.
- Montrer que $\sum_{n=0}^{\infty }\left ( b_{n}-a_{n} \right )$ converge mais que la somme n'est pas dans A+B.
- La relation $$\sum_{n=0}^{k}\alpha _{n}e_{2n}+\sum_{n=0}^{k}\beta _{n}\left ( e_{2n}+\frac{1}{n+1}e_{2n+1} \right )=0$$
donne :
$$\sum_{n=0}^{k}\left ( \alpha _{n}+\beta _{n} \right )e_{2n}+\sum_{n=0}^{k}\frac{\beta _{n}}{n+1}e_{2n+1}=0$$
Ceci entraîne donc que tous les βn sont nuls puis que toutes les différences αn-βn sont nulles donc que tous les αn sont nuls également. - La suite (cn) converge vers 0 puisque $\left \| c_{n} \right \|=\frac{1}{n+1}$, mais pA(cn)=-an, donc la norme de pA(cn) est toujours égale à 1 et ne tend pas vers 0.Il suffit alors d'utiliser cette caractérisation des sommes topologiques
- La convergence de $\sum_{n=0}^{\infty }\left ( b_{n}-a_{n} \right )$ résulte de la convergence de $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{\left ( n+1 \right )^{2}}$.
Si la somme de cette série était dans A+B il existerait un indice k tel que $\sum_{n=k}^{\infty }\frac{1}{\left ( n+1 \right )^{2}}=0$ ce qui est impossible.
A+B est dense parce que le sous-espace engendré par a1,a2, ...,an, b1,b2, ...,bn est le même que celui engendré par e1,e2, ...,e2n+1.
Exercices sur les systèmes orthonormaux
Le polynôme de Legendre d'ordre n est défini par :
$$P_{n}\left ( X \right )=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dX^{n}}\left [ \left ( X^{2}-1 \right )^{n} \right ]$$
Le but de cet exercice est de montrer que (Pn)n∈ℕ est un système orthogonal, dans l'espace pré-hilbertien ℝ[X] des polynômes à coefficients réels, muni du produit scalaire :
$\left ( P|Q \right )=\int_{-1}^{1}P\left ( t \right )Q\left ( t \right )dt$.
$$P_{n}\left ( X \right )=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dX^{n}}\left [ \left ( X^{2}-1 \right )^{n} \right ]$$
Le but de cet exercice est de montrer que (Pn)n∈ℕ est un système orthogonal, dans l'espace pré-hilbertien ℝ[X] des polynômes à coefficients réels, muni du produit scalaire :
$\left ( P|Q \right )=\int_{-1}^{1}P\left ( t \right )Q\left ( t \right )dt$.
- Pour tout entier n≥1 montrer que Pn possède n racines simples dans ]-1,+1[.
- Montrer que $Q_{n}\left ( X \right )=X^{n}+\left ( X^{2}-1 \right )R_{n}\left ( X \right )$ où Rn ∈ ℝ[X].
En déduire Qn(1) et Qn(-1). - Montrer que Qn est orthogonal à tout polynôme de degré au plus égal à n-1.
- Observer que -1 et +1 sont des racines de multiplicité n du polynôme (X2-1)n.
- Raisonner par récurrence sur n.
- Utiliser l'intégration par parties.
- -1 et +1 étant racines de multiplicité n de (X2-1)n, ils sont racines de
$\frac{d^{k}}{dX^{k}}\left ( X^{2}-1 \right )^{n}$ pour 0≤k≤n-1.
En appliquant le théorème de Rolle, on peut alors montrer par récurrence sur k ∈ {0, . . . , n} que $\frac{d^{k}}{dX^{k}}\left ( X^{2}-1 \right )^{n}$
possède au moins k racines dans l’intervalle ]−1, 1[. En particulier Qn possède n racines dans l'intervalle ]-1,+1[. Comme Qn est de degré n elles sont toutes simples et Qn n'en possède pas d'autres. - Pour n=0 c'est immédiat. Supposons la propriété établie à l'ordre n. Alors,
$$Q_{n+1}\left ( X \right )=\frac{1}{2^{n+1}\left ( n+1 \right )!}\frac{d^{n}}{dX^{n}}\left ( 2\left ( n+1 \right )X\left ( X^{2}-1 \right )^{n} \right )$$
En utilisant la formule de Leibniz (dérivées successives d'un produit).
$$Q_{n+1}\left ( X \right )=\frac{1}{2^{n}n!}\left ( X\frac{d}{dX^{n}}\left ( \left ( X^{2}-1 \right )^{n} \right ) +nX \frac{d^{n-1}}{dX^{n-1}}\left ( \left ( X^{2}-1 \right )^{n} \right )\right )$$
1 et -1 sont racines du polynôme $\frac{d^{n-1}}{dX^{n-1}}\left ( \left ( X^{2}-1 \right )^{n} \right )$ , celui-ci peut donc s'écrire (X2-1)S(X).
En exploitant l'hypothèse de récurrence on obtient :
$$Q_{n+1}\left ( X \right )=X^{n+1}+X\left ( X^{2}+1 \right )R_{n}\left ( x \right )+2nX\left ( X^{2}-1 \right )S\left ( X \right )=X^{n+1}+\left ( X^{2}-1 \right )R_{n+1}\left ( X \right )$$ - Par intégration par parties successives et en exploitant le fait que -1 et +1 sont racines de (X2-1)n et de ses dérivées successives jusqu'à l'ordre n-1, on obtient :
$$\left ( P|Q_{n} \right )=\frac{\left ( -1 \right )n}{2^{n}n!}\int_{-1}^{+1}P^{(n)}\left ( t \right )\left ( t^{2}-1 \right )^{n}dt$$
qui prouve que (P|Qn)=0 si le degré de P est ≤ n-1.
Soit E l'espace vectoriel de toutes les fonctions continues sur [-1,+1] et à valeurs complexes.
On munit E du produit scalaire $\left ( f|g \right )=\int_{-1}^{+1}f(t)\overline{g(t)}dt$.
Pout tout entier relatif n∈ℤ on pose $e_{n}(t)=e^{\pi nit}$.
Montrer que (en)n∈ℤ est un système orthogonal appelé système trigonométrique.
On munit E du produit scalaire $\left ( f|g \right )=\int_{-1}^{+1}f(t)\overline{g(t)}dt$.
Pout tout entier relatif n∈ℤ on pose $e_{n}(t)=e^{\pi nit}$.
Montrer que (en)n∈ℤ est un système orthogonal appelé système trigonométrique.
Pour m≠n calculer (em|en)
$$\left ( e_{m}|e_{n} \right )=\int_{-1}^{+1}cos\left ( \left ( m-n \right )\pi t \right )dt+i\int_{-1}^{+1}sin\left ( \left ( m-n \right )\pi t \right )dt$$
$$ \left ( e_{m}|e_{n} \right )=\left [ \frac{sin\left ( \left ( m-n \right ) \pi t\right )}{\left ( m-n \right )\pi } \right ]_{-1}^{+1}-i\left [ \frac{cos\left ( \left ( m-n \right ) \pi t\right )}{\left ( m-n \right )\pi } \right ]_{-1}^{+1}=0$$
$$ \left ( e_{m}|e_{n} \right )=\left [ \frac{sin\left ( \left ( m-n \right ) \pi t\right )}{\left ( m-n \right )\pi } \right ]_{-1}^{+1}-i\left [ \frac{cos\left ( \left ( m-n \right ) \pi t\right )}{\left ( m-n \right )\pi } \right ]_{-1}^{+1}=0$$
Exercices sur l'orthonormalisation
Revoir l'exercice précédent sur les polynômes de Legendre. Utiliser les résultats pour fabriquer un système orthonormal.
Calculer pour tout n ||Qn||.
De la relation :
$$\left ( P|Q_{n} \right )=\frac{\left ( -1 \right )n}{2^{n}n!}\int_{-1}^{+1}P^{(n)}\left ( t \right )\left ( t^{2}-1 \right )^{n}dt$$
nous tirons :
$$ \int_{-1}^{1}Q_{n}\left ( t \right )^{2}dt=\frac{1}{2^{n}n!}\int_{_1}^{+1}\frac{d^{n}}{dt^{n}}Q_{n}\left ( t \right )\left ( 1-t^{2} \right )^{n}dt$$
Puisque (X2-1)n)est unitaire et de degré 2n $\frac{d^{2n}}{dX^{2n}}\left ( X^{2}-1 \right )^{n}=\left ( 2n \right )!$ et
$\frac{d^{n}}{dX^{n}}Q_{n}\left ( X \right )=\frac{\left ( 2n \right )!}{2^{n}n!}$.
Par intégrations par parties successives :
$$\int_{-1}^{+1}\left ( 1-t^{2} \right )^{n}dt=\int_{-1}^{+1}\left ( 1-t \right )^{n}\left ( 1+t \right )^{n}=\frac{2^{2n+1}\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n+1 \right )!}$$
Qui donne $\left \| Q_{n} \right \|^{2}=\frac{2}{2n+1}$
Donc si $A_{n}=\frac{\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2}}Q_{n}$ (An) est un système orthonormal, déduit de (1,X,X2, ...,Xn) par le procédé de Gram-Schmidt.
$$\left ( P|Q_{n} \right )=\frac{\left ( -1 \right )n}{2^{n}n!}\int_{-1}^{+1}P^{(n)}\left ( t \right )\left ( t^{2}-1 \right )^{n}dt$$
nous tirons :
$$ \int_{-1}^{1}Q_{n}\left ( t \right )^{2}dt=\frac{1}{2^{n}n!}\int_{_1}^{+1}\frac{d^{n}}{dt^{n}}Q_{n}\left ( t \right )\left ( 1-t^{2} \right )^{n}dt$$
Puisque (X2-1)n)est unitaire et de degré 2n $\frac{d^{2n}}{dX^{2n}}\left ( X^{2}-1 \right )^{n}=\left ( 2n \right )!$ et
$\frac{d^{n}}{dX^{n}}Q_{n}\left ( X \right )=\frac{\left ( 2n \right )!}{2^{n}n!}$.
Par intégrations par parties successives :
$$\int_{-1}^{+1}\left ( 1-t^{2} \right )^{n}dt=\int_{-1}^{+1}\left ( 1-t \right )^{n}\left ( 1+t \right )^{n}=\frac{2^{2n+1}\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n+1 \right )!}$$
Qui donne $\left \| Q_{n} \right \|^{2}=\frac{2}{2n+1}$
Donc si $A_{n}=\frac{\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2}}Q_{n}$ (An) est un système orthonormal, déduit de (1,X,X2, ...,Xn) par le procédé de Gram-Schmidt.
Normaliser le système trigonométrique de l'exercice précédent.
Calculer (en|en) ∀n∈ℤ
$\left ( e_{n}|e_{n} \right )=\int_{-1}^{+1}dt=2 $ donc si
$a_{n}=\frac{e_{n}}{\sqrt{2}}$ (an)n∈ℤ est un système orthonormal. On peut montrer qu'il est total dans l'espace E.
$a_{n}=\frac{e_{n}}{\sqrt{2}}$ (an)n∈ℤ est un système orthonormal. On peut montrer qu'il est total dans l'espace E.