Théorème du point fixe de Banach-Picard

Soient E et F deux espaces métriques. Une application f:E→F est dite k-lipschitzienne s'il existe une constante k telle que d(f(x),f(y)≤k.d(x,y) pour tout couple (x,y) de points de E×E.

Par exemple, l'application x→(x+sin(x))/3 de ℝ dans ℝ est lipschitzienne de constante 2/3.
Il résulte immédiatement de cette définition que :

Toute application k-lipschitzienne est uniformément continue sur son domaine de définition.

Avec les hypothèses précédentes on dit que f est contractante si f est k-lipschitzienne avec une constante k<1.

On s'intéresse maintenant au cas où E=F.

On dit que x est un point fixe de f si f(x)=x.

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème du point fixe de Banach, encore connu sous le nom de théorème de Picard :

Soit E un espace métrique complet et f une application contractante de E dans E, alors il existe dans E un unique point fixe E. Si x0 est un point quelconque de E et si on pose pour tout entier n xn=f(xn-1), la suite récurrente (xn) est une suite de Cauchy convergente vers l'unique point fixe x de f.
Examinons d'abord l'unicité en cas d'existence. Supposons que x et y soient deux points fixes distincts pour f on aurait alors d(f(x),f(y))=d(x,y)<d(x,y) avec k<1, ce qui est impossible.
Soit maintenant la suite récurrente (xn) construite à partir de x0 comme il est dit dans l'énoncé.
Il résulte de la définition de cette suite que d(xn+1,xn)≤kd(xn,xn-1).
On voit donc tout de suite par récurrence que :
d(xn+1,xn)<knd(x1,x0)
Par application de l'inégalité du triangle généralisée on voit que ∀n∈ℕ et ∀p∈ℕ* :
d(xn,xn+p)⩽
et donc :
d(x_{n},x_{n+p})\leqslant (k^{n}+k^{n+1}+...+k^{n+p-1})d(x_{0},x_{1})=k^{n}\frac{1-k^{p}}{1-k}d(x_{0},x_{1})\leqslant \frac{k^{n}}{1-k}d(x_{0},x_{1})
Cette inégalité prouve que la suite (xn) est une suite de Cauchy, donc convergente puisque E est supposé complet.
Si x est la limite de la suite (xn), la relation de récurrence, jointe à la continuité de f entraîne que f(x)=x, donc que x est le point fixe de f.

La preuve du théorème précédent montre donc que, dans les hypothèses du théorème, l'unique point fixe de f peut être obtenu comme \lim_{n\rightarrow \infty }f^{n}(x_{0}) où x0 désigne un point quelconque de E et où fn=fofn-1 désigne la n-ième itérée de f.

Cette méthode porte le nom de méthode des itérations successives.

Il est en outre possible d'estimer la précision avec laquelle cette limite est atteinte.

d(x_{n},x)\leqslant \frac{k^{n}}{1-k}d(x_{0},x_{1})

En effet l'inégalité est obtenue par passage à la limite dans l'inégalité :
d(x_{n},x_{n+p})\leqslant \frac{k^{n}}{1-k}d(x_{0},x_{1})
Remarque :
Pour le lecteur qui trouverait que la recherche d'un point fixe est un problème très particulier, nous attirons l'attention sur le fait que l'équation y=f(x) où y est une constante et où x est l'inconnue, peut être réécrite x=f(x)+x-y.
Donc si l'on considère la fonction g(x)=f(x)+x-y, la résolution revient à la recherche d'un point fixe de g.

Exercices

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