Dans toute cette page A désigne un ensemble dénombrable. En pratique A sera un produit $\mathbb{N}$p où p est un entier ≥1.
E désigne un espace de Banach et (xα)α∈A une famille de vecteurs de E indexée par A. Donc nous traitons ici globalement les cas des suites doubles (xm,n) où (m,n)∈$\mathbb{N}$2, les suites triples (xm,n,p) où (m,n,p) ∈$\mathbb{N}$3, etc.
Dans le cas d'une suite double, par exemple, en fixant une valeur de m on obtient une suite yn=xm,n, cette suite peut être le terme général d'une série convergente de somme sm. Il se peut, à nouveau, que la suite (sm), soit le terme général d'une série convergente et de somme s. Il se peut inversement qu'en fixant n la série en m de terme général xm,n soit convergente vers une somme s'n, et qu'à son tour la série de terme général s'n converge vers s'. Dans ce cas a-t-on toujours s=s' ?
Plus généralement, si un mode de sommation aboutit, disons d'abord par rapport à n puis ensuite par rapport à m, a-t-on convergence en inversant l'ordre des sommations.
Nous verrons dans les exemples donnés en exercices, que la réponse à toutes ces questions est négative. Autrement dit il n'existe aucun théorème d'associativité généralisée pour les séries multiples. Cependant, il existe des conditions suffisantes pour la validité d'un tel théorème, c'est ce que nous étudions ici.
Familles absolument sommables
On dit que la famille (xα)α∈A est absolument sommable si, pour une bijection σ de $\mathbb{N}$ sur A, la série (xσ(n)) est absolument convergente.
Il découle des résultats sur les séries absolument convergentes et en particulier de cette proposition, que cette propriété est indépendante de la bijection particulière σ.
On peut donc définir la somme de la famille (xα)α∈A comme étant égale à $\sum_{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}$, que l'on écrit aussi $\sum_{\alpha \in A}^{ }x_{\alpha}$.
Voici maintenant un critère d'absolue sommabilité:
Pour qu'une famille dénombrable (xα)α∈A d'éléments d'un espace de Banach E soit absolument sommable il faut et il suffit que les sommes finies $\sum_{\alpha \in J}^{ }||x_{\alpha }||$ (J⊆A et J fini) soient bornées.
Cela résulte tout simplement de la définition et des propriétés des séries à termes positifs.
On a en outre le résultat suivant :
Si (xα)α∈A est absolument sommable, alors pour tout ε>0 il existe une partie finie H de A telle que pour toute partie finie K de A pour laquelle H∩K=∅, $\sum_{\alpha \in K}^{ }||x_{\alpha }||\leq \epsilon$ , et telle que pour toute partie finie L vérifiant H⊆L on ait $|| \sum_{\alpha \in A}^{ }x_{\alpha }-\sum_{\alpha \in L}^{ }x_{\alpha }||\leq 2\epsilon $.
L'existence de H satisfaisant à la première propriété s'obtient en ordonnant A de quelque manière que ce soit au moyen d'une bijection de $\mathbb{N}$ sur A. Alors pour toute partie finie L contenant H on peut écrire L=H∪K où K∩H=∅ donc $|| \sum_{\alpha \in L}^{ }x_{\alpha }-\sum_{\alpha \in H}^{ }x_{\alpha }||\leq \epsilon$ donc par passage à la limite également $|| \sum_{\alpha \in A}^{ }x_{\alpha }-\sum_{\alpha \in H}^{ }x_{\alpha }||\leq \epsilon$ et par application de l'inégalité triangulaire $|| \sum_{\alpha \in A}^{ }x_{\alpha }-\sum_{\alpha \in L}^{ }x_{\alpha }||\leq 2\epsilon$.
Sous-familles (ou familles extraites)
Si (xα)α∈A est une famille de vecteurs d'un espace de Banach E, on désigne par sous-famille où famille extraite de cette famille toute famille (xα)α∈B où B est un sous-ensemble de A.
Concernant ces sous-familles, le résultat principal dit que :
Toute sous-famille d'une famille absolument sommable est encore absolument sommable et avec les notations précédentes $\sum_{\alpha \in B}^{ }||x_{\alpha }||\leq \sum_{\alpha \in A}^{ }||x_{\alpha }||$.
Ceci résulte immédiatement de la définition des familles extraites et des résultats du paragraphe précédent.
La conséquence pour les séries multiples est que :
Pour toute série double (xm,n) absolument sommable et pour toute valeur m la série simple (xm,n)n∈$\mathbb{N}$ est absolument sommable de somme sm.
Théorème d'associativité pour les familles absolument sommables
Soit (xα)α∈A une famille absolument sommable d'un espace de Banach E. Soit (Bn) une suite infinie de parties non vides de A telles que $A=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}^{ }B_{n}$ et $B_{p}\cap B_{q}=∅$ pour p≠q (autrement dit les Bn forment un recouvrement de A) ; alors si $z_{n}=\sum_{\alpha \in B_{n}}^{ }x_{\alpha }$ la série (zn) est absolument convergente et $\sum_{n=0}^{\infty }z_{n}=\sum_{\alpha \in A}^{ }x_{\alpha }$ .
Pour tout ε>0 donné et tout entier n, il existe d'après ce qui précède pour chaque k≤n une partie finie Jk de Bk telle que $||z_{k}||\leq \sum_{\alpha \in J_{k}}^{ }||x_{\alpha }||+\frac{\epsilon }{n+1}$. Si $J=\bigcup_{k=0}^{n}J_{k}$ on a donc $\sum_{k=0}^{n}||z_{k}||\leq \sum_{\alpha \in J}^{ }||x_{\alpha }||+\epsilon \leq \sum_{\alpha \in A}^{ }||x_{\alpha }||+\epsilon $ ce qui montre que la série (zn) est absolument convergente. De plus, soit H une partie finie de A telle que, pour toute partie finie K de A ne coupant pas H on ait $\sum_{\alpha \in K}^{ }||x_{\alpha }||\leq \epsilon$, donc telle que pour toute partie finie L de A contenant H $||\sum_{\alpha \in A}^{ }x_{\alpha }-\sum_{\alpha \in L}^{ }x_{\alpha }||\leq 2\epsilon$. Soit n0 le plus grand entier tel que H∩Bn0 ≠∅, et soit n un entier arbitraire ≥ n0. Pour chaque k≤n, soit Hk une partie finie de Bk contenant H∩Bk, et telle que pour toute partie finie Lk de Bk contenant Hk on ait $||z_{k}-\sum_{\alpha \in L_{k}}^{ }x_{\alpha }||\leq \frac{\epsilon }{n+1}$. Alors si $L=\bigcup_{k=0}^{n}L_{k}$, on a $||\sum_{k=0}^{n}z_{k}-\sum_{\alpha \in L}^{ }x_{\alpha }||\leq \epsilon $, et comme H⊆L, il résulte de la définition de H que $||\sum_{k=0}^{n}z_{k}-\sum_{\alpha \in A}^{ }x_{\alpha }||\leq 3\epsilon $, ce qui achève la démonstration.
La conséquence pour les séries doubles absolument sommables est que les sommations partielles ont toujours un sens et qu'on peut les inverser pour obtenir la somme de la série double. Ceci s'étend naturellement aux séries multiples de tous ordres.
