L'intégrale de Riemann se généralise facilement aux fonctions à valeurs dans ℝn, mais non aux fonctions à valeurs dans un espace de Banach F quelconque. Nous définissons ici une classe de fonctions pour lesquelles il est facile de définir l'intégrale définie sur un intervalle compact de ℝ.
La notion d'intégrale ainsi définie est suffisante pour de nombreuses applications en calcul différentiel. Pour des cas plus complexes, quand la nécessité se fait sentir, pas d'autre recours que la théorie de Borel-Lebesgue.
Fonctions en escalier
Dans toute cette page F désigne un espace de Banach sur un corps K.
Soit $\overline{\mathbb{R}}$ la droite réelle achevée.
a et b sont des symboles désignant deux éléments de $\overline{\mathbb{R}}$ vérifiant a<b et soit I un intervalle de ℝ d'origine a et d'extrémité b.
La relation ainsi définie est clairement une relation d'ordre.
Il suffit en effet de prendre la réunion des points de x avec les points de y et de réordonner cet ensemble de points. z se note x∨y, et peut être considéré comme la borne supérieure de x et y dans la mesure où z est la moins fine des subdivisions qui sont plus fines que x et y.
Remarque 1: On ne fait, dans cette définition, aucune hypothèse particulière sur les valeurs de f en chacun des points xi (1≤i≤n).
Remarque 2: La définition d'une fonction en escalier fait intervenir une subdivision qui à l'évidence n'est pas unique. Si f est en escalier relativement à la subdivision x alors f est en escalier relativement à toute subdivision plus fine que x.
Fonctions réglées
Le théorème ci-dessous fournit une caractérisation des applications réglées dans le cas où I est un intervalle compact.
Condition nécessaire :
Pour tout entier n, et tout x∈I, il existe un intervalle ouvert V(x)=]y(x),z(x)[ contenant x, tel que ||f(s)-f(t)||≤1/n si s et t sont tous deux dans ]y(x),x[∩I ou bien tous deux dans ]x,z(x)[∩I.
Recouvrons I par un nombre fini d'intervalles V(xi), et soit (cj)0≤j≤m la subdivision de I formée des points a,b, xi,y(xi),z(xi).
Comme chaque cj est dans quelque V(xi), ou bien cj+1 se trouve dans le même V(xi) ou bien cj+1=z(xi) pour j≤m-1.
En d'autres termes, si s,t sont tous deux dans le même intervalle ]cj,cj+1[ alors ||f(s)-f(t)||≤1/n. Soit alors gn la fonction en escalier égale à f aux points cj et aux points milieux de chacun des intervalles ]cj,cj+1[ et constante dans chacun de ces intervalles. il est clair que ||f-gn||≤1/n
Condition suffisante :
Supposons que f soit la limite uniforme d'une suite (fn) de fonctions en escalier. Pour tout ε>0 il existe un entier n tel que ||f-fn||≤ε/3. mais pour tout x∈I, il existe un intervalle ]c,d[ contenant x tel que ||fn(s)-fn(t)||≤ε/3 lorsque s et t sont tous deux dans ]c,x[ ou tous deux dans ]x,d[.
Par suite, sous la même hypothèse, on a ||f(s)-f(t)||≤ε ce qui démontre l'existence des limites à droite et à gauche de f en x puisque F est complet d'après ce résultat.
Le résultat précédent peut également être exprimé de la façon suivante :
Exemples
Les résultats qui suivent fournissent de nombreux exemples de fonctions réglées.
Cela résulte de la caractérisation des application réglées, de la définition de la continuité et des propriétés des applications monotones relatives aux limites à droite et à gauche.
- f soit continue sur chaque sous-intervalle ]xi,xi+1[ de I.
- f soit prolongeable par continuité à [xi,xi+1] pour tout i (0≤i≤n-1).
Il résulte de ce qui précède que :
Intégrales définies sur un intervalle compact
I désigne ici un intervalle compact, I=[a,b], a∈ℝ, b∈ℝ.
$$\int_{a}^{b}f(t)dt=\sum_{i=0}^{n-1} \left ( x_{i+1}-x_{i} \right )f\left ( \frac{x_{i}+x_{i+1}}{2} \right )$$
est une application linéaire continue de l'espace $\mathfrak{E}_{F}(I)$ de toutes les fonctions en escalier sur I dans l'espace F.
$$\int_{a}^{b}(f+g)(t)dt=\int_{a}^{b}f(t)dt+\int_{a}^{b}g(t)dt$$ est évidente quand f et g sont définies relativement à la même subdivision de I.
dans le cas contraire si f est définie relativement à x et g relativement à y, il suffit d'introduire z=x∨y.
La continuité de l'application résulte du fait que
$$\left \| \int_{a}^{b} f(t)dt\right \|\leqslant \left \| f \right \|.\left | b-a \right |$$
la norme devant être comprise comme celle de $\mathfrak{B}_{F}(I)$ (norme du sup).
$$f \rightarrow \int_{a}^{b}f(t)dt$$ de l'espace des fonctions réglées sur I dans l'espace vectoriel F, coïncidant avec l'intégrale définie lorsque f est en escalier sur I. Cette application est encore nommée intégrale définie de f sur I.
En outre pour toute suite fn de fonctions en escalier convergeant uniformément vers f on a :
$$\int_{a}^{b}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{a}^{b}f_{ n}(t)dt$$
et en outre :
$$\left \| \int_{a}^{b} f(t)dt\right \|\leqslant \left \| f \right \|.\left | b-a \right |$$
Il résulte des définitions que dans le cas où F=ℝ si f est réglée, alors f est intégrable au sens de Riemann et les deux intégrales coïncident puisqu'elles coïncident sur un sous-ensemble dense.
Cependant il existe des fonctions intégrables au sens de Riemann et non réglées (voir cet exercice).