Segments
Le segment joignant 2 points a et b d'un même espace vectoriel normé réel E est l'ensemble des points x de la forme x=tb+(1-t)a où t∈[0,1].Un tel segment sera noté [a,b]
On peut donc dire aussi que c'est l'ensemble des barycentres des points a,b avec des coefficients positifs, ou encore avec des coefficients de même signe.
Un segment est donc un arc ou un chemin particulier, dans la mesure où les deux applications t→tb et t→(1-t)a sont continues.
Lignes brisées
E désigne toujours un espace vectoriel normé réel, a et b deux points de E.
Une ligne brisée joignant a à b consiste en une suite de segments [xi,xi+1] 0≤i≤n avec x0=a et xn=b.
Il résulte de la définition que tout comme un segment, une ligne brisée est un chemin reliant a à b.
Caractérisation des ensembles connexes
E désignant toujours un espace vectoriel normé réel et U un ouvert de E. Nous avons le résultat suivant :
On considère U comme un espace métrique avec la distance induite par la norme de E. Les conditions suivantes sont équivalentes :
- U est connexe
- U est connexe par arcs
- Deux points quelconques de U peuvent être joints par une ligne brisée dans U
Il est clair que 3.⇒2.
L'implication 2.⇒1 a été vue ici.
De sorte que pour une démonstration complète il suffit de montrer que 1.⇒3.
On peut supposer U non vide, faute de quoi 1., 2. et 3. sont trivialement vrais.
Choisissons donc u0∈U et soit V l'ensemble des points de U que l'on peut joindre à u0 par une ligne brisée dans U. V n'est pas vide puisque V contient au moins u0. de sorte qu'il suffit de montrer que V est à la fois ouvert et fermé dans U.
V est ouvert dans U :
Soit a∈V l'extrémité d'une ligne brisée L contenue dans U et ayant u0 pour origine. Alors il existe une boule B=B(a,r) de centre a et de rayon r>0 contenue dans U.
Tout point x∈B peut être relié à a par un segment S. En mettant bout à bout la ligne brisée L et le segment S on obtient une ligne brisée joignant u0 à x.
C.Q.F.D.
V est fermé dans U :
Soit a∈U et adhérent à V, il faut montrer que a∈V.
Comme précédemment il existe une boule B=B(a,r) contenue dans U.
Puisque a est adhérent à V, il existe un point b∈B∩V.
Ce point b peut être joint à u0 par une ligne brisée L contenue dans U. Or a peut être joint à b par un segment contenu dans B donc dans U.
a peut donc être joint à u0 par une ligne brisée et a∈V par définition de V.
L'implication 2.⇒1 a été vue ici.
De sorte que pour une démonstration complète il suffit de montrer que 1.⇒3.
On peut supposer U non vide, faute de quoi 1., 2. et 3. sont trivialement vrais.
Choisissons donc u0∈U et soit V l'ensemble des points de U que l'on peut joindre à u0 par une ligne brisée dans U. V n'est pas vide puisque V contient au moins u0. de sorte qu'il suffit de montrer que V est à la fois ouvert et fermé dans U.
V est ouvert dans U :
Soit a∈V l'extrémité d'une ligne brisée L contenue dans U et ayant u0 pour origine. Alors il existe une boule B=B(a,r) de centre a et de rayon r>0 contenue dans U.
Tout point x∈B peut être relié à a par un segment S. En mettant bout à bout la ligne brisée L et le segment S on obtient une ligne brisée joignant u0 à x.
C.Q.F.D.
V est fermé dans U :
Soit a∈U et adhérent à V, il faut montrer que a∈V.
Comme précédemment il existe une boule B=B(a,r) contenue dans U.
Puisque a est adhérent à V, il existe un point b∈B∩V.
Ce point b peut être joint à u0 par une ligne brisée L contenue dans U. Or a peut être joint à b par un segment contenu dans B donc dans U.
a peut donc être joint à u0 par une ligne brisée et a∈V par définition de V.