E et F désignent ici deux espaces de Banach et U un ouvert de E. f désigne une application différentiable de U dans F de sorte qu'on a une application dérivée :
$$Df:U\rightarrow \mathfrak{L}(E;F)$$
dont on peut se demander si, à son tour, elle n'est pas différentiable.
Dans les hypothèses ci-dessus si Df est différentiable au point a∈U on dit que f est deux fois différentiable en a, la dérivée de Df (où f') en a se note D2f(a) où f''(a) ou encore f(2)(a), et on a :
$$f''(a)\in \mathfrak{L}(E;\mathfrak{L}(E;F))$$
f''(a) s'appelle la dérivée seconde de f en a.
$$f''(a)\in \mathfrak{L}(E;\mathfrak{L}(E;F))$$
f''(a) s'appelle la dérivée seconde de f en a.
On dit que f est deux fois différentiable dans U (ou sur U) si pour tout x de U f''(x) existe.
On dit que f est de classe C2 sur U, ou encore que f est deux fois continûment différentiable sur U, si l'application :
$$f'': U\rightarrow \in \mathfrak{L}(E;\mathfrak{L}(E;F))$$
est continue sur U. Cela équivaut à dire que f' est de classe C1 sur U.
$$f'': U\rightarrow \in \mathfrak{L}(E;\mathfrak{L}(E;F))$$
est continue sur U. Cela équivaut à dire que f' est de classe C1 sur U.
Rappelons qu'on a défini ici, une isométrie canonique :
$$\mathfrak{L}(E;\mathfrak{L}(E,F))\approx \mathfrak{L}(E,E;F)$$
Par cet homéomorphisme f''(a) s'identifie à un élément de $\mathfrak{L}(E,E;F)$ c'est à dire une application bilinéaire continue de E×E dans F. Si on explicite ce résultat, on trouve que f"(a) est l'application :
(h,k) →(f"(a).h).k
Si f:U→F est deux fois différentiable au point a, la dérivée seconde f''(a) identifiée à un élément de $\mathfrak{L}(E,E;F)$ est une application bilinéaire symétrique ; autrement dit :
$$(f''(a).h).k=(f''(a).k).h \text{ , }\forall h\in E \text{ et }\forall k\in E \tag{1}$$
$$(f''(a).h).k=(f''(a).k).h \text{ , }\forall h\in E \text{ et }\forall k\in E \tag{1}$$
On va introduire la fonction
$$A(h,k)=f(a+h+k)-f(a+h)-f(a+k)+f(a)$$
qui est évidemment symétrique A(h,k)=A(k,h).
Supposons qu'on ait démontré la relation :
$$\left \| A(h,k)-(f''(a).k).h \right \|=o((\left \| h \right \|+\left \| k \right \|)^{2}) \tag{2}$$.
nous affirmons que (1) en découlera facilement. En effet si dans (2) on échange h et k on obtient :
$$\left \| A(h,k)-(f''(a).h).k \right \|=o((\left \| h \right \|+\left \| k \right \|)^{2}) $$.
Cette relation jointe à (2) entraîne :
$$\left \| (f''(a).k).h-(f''(a).h).k \right \|=o((\left \| h \right \|+\left \| k \right \|)^{2}) \tag{3}$$.
Par inégalité du triangle.
(3) dit que ε>0 étant donné, il existe η>0 tel que l'on ait :
$$\left \| (f''(a).k).h-(f''(a).h).k \right \|\leqslant \varepsilon (\left \| h \right \|+\left \| k \right \|)^{2} \tag{4}$$
dès que ||h||+||k||≤ε. Or pour tout scalaire λ, on a :
$$\left \| (f''(a.\lambda k).(\lambda h))-(f''(a.\lambda h).(\lambda k)) \right \|=|\lambda|^{2}.\left \| (f''(a).k).h- (f''(a).h).k\right \|$$
Etant donnés h et k quelconques dans E, on peut toujours trouver un λ≠0 tel que ||λh||+||λk||≤η.
Donc, d'après (4) où h et k seraient remplacés par λh et λk, on a :
$$|\lambda|^{2}.\left \| (f''(a).k).h- (f''(a).h).k\right \|\leqslant \varepsilon \left | \lambda \right |^{2}\left ( ||h||+||k|| \right )^{2}$$
En divisant par |λ|2≠0, on trouve que l'inégalité (4) est vraie quels que soient h et k. Comme ε>0 a été choisi arbitrairement, on en conclut que la relation (1) est vraie, ce qui démontre le théorème.
Ainsi tout revient à prouver (2).
DEMONSTRATION de (2):
Partons de l'inégalité triangulaire :
$$\left \| A(h,k)-(f''(a).k).h \right \|\leqslant \left \| A(h,k)-f'(a+k).h+f'(a).h \right \|+\left \| f'(a+k).h-f'(a).h-(f''(a).k).h \right \| \tag{5}$$
On va majorer chacune des quantités du second membre, c'est à dire :
$$\left \| A(h,k)-f'(a+k).h+f'(a).h \right \| \tag{6}$$
et
$$\left \| f'(a+k).h-f'(a).h-(f''(a).k).h \right \| \tag{7}$$
Començons par (7), on a :
$$\left \| f'(a+k).h-f'(a).h-(f''(a).k).h \right \|\leqslant \left \| h \right \|.\left \| f'(a+k)-f'(a)-f''(a).k \right \|$$
D'après la définition de la dérivée de la fonction f' au point a, on a :
$$\left \| f'(a+k)-f'(a)-f''(a).k \right \|=o(\left \| k \right \|)$$
Donc la quantité (7) est ||h||.o(||k||) et est a fortiori ||h||.(||h||+||k||).
On va maintenant majorer (6). Considérons la fonction auxiliaire
$$B(h)=f(a+k+h)-f(a+h)-f'(a+k).h+f'(a).h$$
Alors (6) n'est autre que ||B(h)-B(0)||.
D'après l'inégalité des accroissements finis, on a :
$$\left \| B(h)-B(0) \right \|\leqslant \left \| h \right \|.\sup_{0\leqslant t\leqslant 1}\left \| B'(th) \right \|$$
On a :
$$B'(h)=f'(a+k+h)-f'(a+h)-f'(a+k)+f'(a)$$
Donc (6) est majoré par :
$$\left \| h \right \|.\sup_{0\leqslant t\leqslant 1}\left \| f'(a+k+h)-f'(a+h)-f'(a+k)+f'(a) \right \| \tag{8}$$
on va maintenant majorer (8). D'après la définition de f''(a), on a :
$$\left\{\begin{matrix}f'(a+k+th)=f'(a)+f''(a).(k+th)+o\left \| k+th \right \|\\ f'(a+th)=f'(a)+f''(a).(th)+o(\left \| th \right \|)\\ f'(a+k)=f'(a)+f''(a).k+o(\left \| k \right \|)\end{matrix}\right.$$
On en déduit par combinaison :
$$\left \| f'(a+k+th)-f'(a+th)-f'(a+k)+f'(a) \right \|=o\left ( \left \| k+th \right \| \right )+o\left ( \left \| th \right \| \right )+o\left ( \left \| k \right \| \right )$$
Puisque ||k+th||≤||k||+||h|| et ||th||≤||h|| pout t∈[0,1], on voit que l'expression (8) est de la forme o(||h||+||k||) et par conséquent (6) est majoré par :
$$\left \| h \right \|.o\left ( \left \| h \right \|+\left \| k \right \| \right )$$
Finalement, chacune des quantités (6) et (7) est $\left \| h \right \|.o\left ( \left \| h \right \|+\left \| k \right \| \right )$, donc leur somme aussi.
Alors (5) montre que :
$$\left \| A(h,k)-(f''(a).k).h \right \|=\left \| h \right \|.o\left ( \left \| h \right \|+\left \| k \right \| \right )$$
Cela signifie que pour tout ε>0 il existe η>0, tel que l'on ait :
$$\left \| A(h,k)-(f''(a).k).h \right \|\leqslant \epsilon \left \| h \right \|.\left ( \left \| h \right \|+\left \| k \right \| \right )$$
dès que ||h||+||k||≤η.
A fortiori, l'inégalité ||h||+||k||≤η entraîne :
$$\left \| A(h,k)-(f''(a).k).h \right \|\leqslant \epsilon \left ( \left \| h \right \|+\left \| k \right \| \right )^{2}$$
Ce qui démontre (2), donc le théorème.
$$A(h,k)=f(a+h+k)-f(a+h)-f(a+k)+f(a)$$
qui est évidemment symétrique A(h,k)=A(k,h).
Supposons qu'on ait démontré la relation :
$$\left \| A(h,k)-(f''(a).k).h \right \|=o((\left \| h \right \|+\left \| k \right \|)^{2}) \tag{2}$$.
nous affirmons que (1) en découlera facilement. En effet si dans (2) on échange h et k on obtient :
$$\left \| A(h,k)-(f''(a).h).k \right \|=o((\left \| h \right \|+\left \| k \right \|)^{2}) $$.
Cette relation jointe à (2) entraîne :
$$\left \| (f''(a).k).h-(f''(a).h).k \right \|=o((\left \| h \right \|+\left \| k \right \|)^{2}) \tag{3}$$.
Par inégalité du triangle.
(3) dit que ε>0 étant donné, il existe η>0 tel que l'on ait :
$$\left \| (f''(a).k).h-(f''(a).h).k \right \|\leqslant \varepsilon (\left \| h \right \|+\left \| k \right \|)^{2} \tag{4}$$
dès que ||h||+||k||≤ε. Or pour tout scalaire λ, on a :
$$\left \| (f''(a.\lambda k).(\lambda h))-(f''(a.\lambda h).(\lambda k)) \right \|=|\lambda|^{2}.\left \| (f''(a).k).h- (f''(a).h).k\right \|$$
Etant donnés h et k quelconques dans E, on peut toujours trouver un λ≠0 tel que ||λh||+||λk||≤η.
Donc, d'après (4) où h et k seraient remplacés par λh et λk, on a :
$$|\lambda|^{2}.\left \| (f''(a).k).h- (f''(a).h).k\right \|\leqslant \varepsilon \left | \lambda \right |^{2}\left ( ||h||+||k|| \right )^{2}$$
En divisant par |λ|2≠0, on trouve que l'inégalité (4) est vraie quels que soient h et k. Comme ε>0 a été choisi arbitrairement, on en conclut que la relation (1) est vraie, ce qui démontre le théorème.
Ainsi tout revient à prouver (2).
DEMONSTRATION de (2):
Partons de l'inégalité triangulaire :
$$\left \| A(h,k)-(f''(a).k).h \right \|\leqslant \left \| A(h,k)-f'(a+k).h+f'(a).h \right \|+\left \| f'(a+k).h-f'(a).h-(f''(a).k).h \right \| \tag{5}$$
On va majorer chacune des quantités du second membre, c'est à dire :
$$\left \| A(h,k)-f'(a+k).h+f'(a).h \right \| \tag{6}$$
et
$$\left \| f'(a+k).h-f'(a).h-(f''(a).k).h \right \| \tag{7}$$
Començons par (7), on a :
$$\left \| f'(a+k).h-f'(a).h-(f''(a).k).h \right \|\leqslant \left \| h \right \|.\left \| f'(a+k)-f'(a)-f''(a).k \right \|$$
D'après la définition de la dérivée de la fonction f' au point a, on a :
$$\left \| f'(a+k)-f'(a)-f''(a).k \right \|=o(\left \| k \right \|)$$
Donc la quantité (7) est ||h||.o(||k||) et est a fortiori ||h||.(||h||+||k||).
On va maintenant majorer (6). Considérons la fonction auxiliaire
$$B(h)=f(a+k+h)-f(a+h)-f'(a+k).h+f'(a).h$$
Alors (6) n'est autre que ||B(h)-B(0)||.
D'après l'inégalité des accroissements finis, on a :
$$\left \| B(h)-B(0) \right \|\leqslant \left \| h \right \|.\sup_{0\leqslant t\leqslant 1}\left \| B'(th) \right \|$$
On a :
$$B'(h)=f'(a+k+h)-f'(a+h)-f'(a+k)+f'(a)$$
Donc (6) est majoré par :
$$\left \| h \right \|.\sup_{0\leqslant t\leqslant 1}\left \| f'(a+k+h)-f'(a+h)-f'(a+k)+f'(a) \right \| \tag{8}$$
on va maintenant majorer (8). D'après la définition de f''(a), on a :
$$\left\{\begin{matrix}f'(a+k+th)=f'(a)+f''(a).(k+th)+o\left \| k+th \right \|\\ f'(a+th)=f'(a)+f''(a).(th)+o(\left \| th \right \|)\\ f'(a+k)=f'(a)+f''(a).k+o(\left \| k \right \|)\end{matrix}\right.$$
On en déduit par combinaison :
$$\left \| f'(a+k+th)-f'(a+th)-f'(a+k)+f'(a) \right \|=o\left ( \left \| k+th \right \| \right )+o\left ( \left \| th \right \| \right )+o\left ( \left \| k \right \| \right )$$
Puisque ||k+th||≤||k||+||h|| et ||th||≤||h|| pout t∈[0,1], on voit que l'expression (8) est de la forme o(||h||+||k||) et par conséquent (6) est majoré par :
$$\left \| h \right \|.o\left ( \left \| h \right \|+\left \| k \right \| \right )$$
Finalement, chacune des quantités (6) et (7) est $\left \| h \right \|.o\left ( \left \| h \right \|+\left \| k \right \| \right )$, donc leur somme aussi.
Alors (5) montre que :
$$\left \| A(h,k)-(f''(a).k).h \right \|=\left \| h \right \|.o\left ( \left \| h \right \|+\left \| k \right \| \right )$$
Cela signifie que pour tout ε>0 il existe η>0, tel que l'on ait :
$$\left \| A(h,k)-(f''(a).k).h \right \|\leqslant \epsilon \left \| h \right \|.\left ( \left \| h \right \|+\left \| k \right \| \right )$$
dès que ||h||+||k||≤η.
A fortiori, l'inégalité ||h||+||k||≤η entraîne :
$$\left \| A(h,k)-(f''(a).k).h \right \|\leqslant \epsilon \left ( \left \| h \right \|+\left \| k \right \| \right )^{2}$$
Ce qui démontre (2), donc le théorème.