Les hypothèses et les notations restent celles des pages précédentes du même chapitre, mais on suppose maintenant que E est un produit d'espaces de Banach, E=E₁×E₂×...×E_n. Soit donc U un ouvert de E et f: U → F une application continue. Pour chaque a=(a₁,...,a_n) ∈ U nous considérons l'injection λ_i : E_i → E, définie par : $$\lambda _{i}\left ( x_{i} \right )=\left ( a_{1},...,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},...,a_{n} \right )$$ Si nous notons u_i:E_i → E l'injection canonique, déjà rencontrée dans la page précédente et définie par $$u_{i}\left ( x_{i} \right )=\left ( 0,...,0,x_{i},0,...,0 \right )$$ qui est linéaire, continue et dérivable on a évidemment : $$\lambda _{i}\left ( x_{i} \right )=a+u_{i}\left ( x_{i}-a_{i} \right )$$ $$\lambda _{i}\left ( a_{i} \right )=a$$ Il en résulte que λ_i est continue comme composée de 3 applications continues (une translation, une application linéaire et une autre translation). Donc λ_i^-1(U) est un ouvert de E_i. En outre en utilisant ce résultat, conjointement avec la règle de dérivation des fonctions composées ainsi que ce résultat, on voit que λ_i est différentiable en tout point x_i de E_i, et que : $$\lambda _{i}'(x_{i})=u_{i}$$

Avec les notations précédentes :

En effet, il résulte de ce qui précède et du théorème de dérivation des fonctions composées que si f est différentiable en a foλ_i est différentiable en a_i, et (foλ_i)'=f'(a)ou_i.

Avec les notations précédentes :

Nous résumons donc tout ce qui précède en disant que si une application f est différentiable en un point a d'un espace produit, elle possède nécessairement des dérivées partielles de tous ordres en ce point. On peut se poser la question de la réciproque. Une application qui possède en un point des dérivées partielles relativement à chacune des variables, est-elle différentiable en ce point ? La réponse est négative. Voir par exemple cet exercice pour un contre-exemmple. Nous avons cependant un théorème d'existence de la dérivée à partir des dérivées partielles si on impose en plus une condition de continuité. Supposons maintenant que f soit différentiable en tout point de U, et soit $$f': U \rightarrow \mathfrak{L}(E;F)$$ l'application dérivée. Alors l'application 'dérivée partielle' : $$\frac{\partial f}{\partial x_{i}} : U \rightarrow \mathfrak{L}\left ( E_{i};F \right )$$ est composée de f' et de l'application linéaire : $$\mathfrak{L}(E;F) \rightarrow \mathfrak{L}\left ( E_{i};F \right ) \tag{2}$$ qui à toute application linéaire continue φ:E → F associe φou_i. Or l'application (2) est continue et de norme ≤1. il en résulte que :

Il est clair également , d'après la relation (1) que si on suppose f différentiable sur U, et si les fonctions dérivées partielles sont continues sur U il en est de même de f'. Nous énonçons maintenant sans démonstration la réciproque de ce théorème, qui ne suppose pas a priori la différentiabilité de f :

La démonstration sera donnée ultérieurement car elle nécessite des outils supplémentaires (théorème des accroissements finis).

Revenons maintenant un peu sur des écritures classiques que l'on trouve dans des ouvrages anciens et d'autres sans aucune forme de justification.
Si f est une fonction de deux variables x et y, on trouve souvent l'écriture
$$df(a)=\frac{\partial f}{\partial x}(a)dx +\frac{\partial f}{\partial y}(a)dy$$
exprimant la différentielle totale en fonction des dérivées partielles.
Que signifie les termes dx et dy dans cette écriture ?
Les exposés anciens étaient plutôt évasifs voire incohérents sur cette interprétation. De fait il n'existe qu'une manière de comprendre ces écritures. Il ne s'agit certes pas "d'accroissements infinitésimaux" comme on pouvait le lire dans la première moitié du 20-ième siècle, dx et dy sont des applications linéaires.
dx est la première projection dx.(h,k)=h et dy est la seconde projection dy.(h,k)=k.

Exercices