Dans un espace pré-hilbertien séparable, il est possible de construire un système orthonormal, à partir de n'importe quel système total. Plus précisément :

On raisonne par récurrence sur n. Supposons que c₁, ... ,c_n-1 soit un système orthogonal qui engendre V_n-1, alors par définition de P_Vn-1 c_n est orthogonal à V_n-1, ce qui prouve que (c_i|c_j)=0 pour 1≤i<j<n.
De plus, comme b_n ∉V_n-1 par hypothèse, c_n≠0, donc c₁,...,c_n-1,c_n est un système orthogonal.
En outre b_n-c_n ∈ V_n-1, donc c₁,...,c_n engendrent le même sous-espace que la réunion de V_n-1 et {b_n}, c'est à dire V_n.
Si on normalise le système (c_n) en posant $a_{n}=\frac{c_{n}}{\left \| c_{n} \right \|}$, on obtient un système orthonormal.

Le résultat qui précède admet un corollaire important :

En effet, on peut fabriquer une base orthonormale totale (a_n) à partir de n'importe quel suite totale d'après ce qui précède.
L'application (λ_n) → $\sum_{n=0}^{\infty }\lambda _{n}a_{n}$ est un isomorphisme de F sur $\boldsymbol{l}_{K}^{2}$.

Exercices