Orthonormalisation

Dans un espace pré-hilbertien séparable, il est possible de construire un système orthonormal, à partir de n'importe quel système total. Plus précisément :

Soit E un espace pré-hilbertien séparable, et soit (bn) une suite totale de vecteurs linéairement indépendants dans E. On désigne par Vn le sous-espace engendré par b1, ... ,bn. Si l'on pose cn= bn-PVn-1(bn)
alors (cn) est un système orthogonal total tel que c1, ... ,cn engendre Vn pour tout n.

On raisonne par récurrence sur n. Supposons que c1, ... ,cn-1 soit un système orthogonal qui engendre Vn-1, alors par définition de PVn-1 cn est orthogonal à Vn-1, ce qui prouve que (ci|cj)=0 pour 1≤i<j<n.
De plus, comme bn ∉Vn-1 par hypothèse, cn≠0, donc c1,...,cn-1,cn est un système orthogonal.
En outre bn-cn ∈ Vn-1, donc c1,...,cn engendrent le même sous-espace que la réunion de Vn-1 et {bn}, c'est à dire Vn.
Si on normalise le système (cn) en posant $a_{n}=\frac{c_{n}}{\left \| c_{n} \right \|}$, on obtient un système orthonormal.

On dit que le système (an) se déduit du système (bn) par le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.

Le résultat qui précède admet un corollaire important :

Tout espace hilbertien F sur le corps K et séparable est isomorphe à $\boldsymbol{l}_{K}^{2}$.

En effet, on peut fabriquer une base orthonormale totale (an) à partir de n'importe quel suite totale d'après ce qui précède.
L'application (λn) → $\sum_{n=0}^{\infty }\lambda _{n}a_{n}$ est un isomorphisme de F sur $\boldsymbol{l}_{K}^{2}$.

Exercices

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