Définitions
- Elle est bijective.
- d'(f(x),f(y))=d(x,y) pour tout couple (x,y) d'éléments de E.
De nombreux exemples peuvent être trouvés dans le cours de géométrie affine du site du même auteur
Transport d'une distance
Soient maintenant (E,d) un espace métrique et f une bijection de E sur un ensemble E' (sur lequel n'est pas supposé a priori définie une distance). Soit g la bijection réciproque de f, g: E' → E. Pour deux éléments quelconques x' et y' de E' posons d'(x',y')=d(g(x'),g(y')).
Exemple, la droite réelle achevée $\overline{\mathbb{R}}$
Soit I l'intervalle ]-1,+1[ et J l'intervalle [-1,+1], de sorte que J=I∪{-1;+1}
On considère l'application f de $\mathbb{R}$ dans I $f:x \mapsto \frac{x}{1+|x|}$
dont l'application réciproque est g de I dans $\mathbb{R}$ $g:x \mapsto \frac{x}{1-|x|}$
Voici le graphe de g :
Soient -∞ et +∞ deux éléments distincts n'appartenant pas à $\mathbb{R}$ et posons $\overline{\mathbb{R}}$={-∞} ∪$\mathbb{R}$∪{+∞}
Prolongeons g en une bijection de J sur $\overline{\mathbb{R}}$, en posant g(-1)=-∞ et g(+1)=+∞
Considérons maintenant la distance d(x,y)=|x-y| sur J et transportons la par g
$\overline{\mathbb{R}}$={-∞} devient donc un espace métrique, que nous appellerons la droite réelle achevée.
La relation d'ordre de $\mathbb{R}$ peut être étendue à $\overline{\mathbb{R}}$ en posant :
- -∞ ≤ x ∀ x ∈ $\overline{\mathbb{R}}$
- +∞ ≥ x ∀ x ∈ $\overline{\mathbb{R}}$
g devient alors une bijection strictement croissante de J sur $\overline{\mathbb{R}}$
Remarquons que tout sous ensemble de J possède une borne inférieure et une borne supérieure. Il en sera donc de même dans $\overline{\mathbb{R}}$, cette borne étant éventuellement un des deux éléments -∞ ou +∞