Définition
Soit E un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E, la restriction à F de la norme de E est évidemment une norme sur F, F muni de cette norme induite devient à son tour un espace normé dit sous-espace normé de E.
Par exemple si on considère l'espace E de toutes les suites bornées de réels. L'ensemble F de toutes les suites convergeant vers 0 est une sous-espace normé de E.
Propriétés importantes
Si F est un sous-espace d'un espace de Banach E, il y a équivalence entre :
- F est fermé dans E.
- F est un espace de Banach.
Cela provient de la caractérisation des fermés dans un espace métrique complet.
Si F est un sous-espace vectoriel d'un espace normé E, son adhérence $\overline{F}$ dans E est un sous-espace vectoriel.
C'est une conséquence directe de ce résultat sur les espaces vectoriels topologiques.
Familles totales
On dit qu'une partie A d'un espace vectoriel normé E est totale si les combinaisons linéaires finies des vecteurs de A forment un sous-ensemble dense de E ; on dit qu'une famille (xα) est totale si l'ensemble de ses éléments est total.
Par exemple, si E est l'espace normé de toutes les suites de réels tendant vers 0 avec la norme ||u||= Supn |un|, l'ensemble (em)m∈$\mathbb{N}$ où em=(δm,n) avec δm,n=1 si m=n et 0 sinon est une suite totale dans E.