Soient (E,$\mathfrak{T}$) et (E',$\mathfrak{T'}$) deux espaces topologiques. On suppose E' séparé. Soient f et g deux applications continues de E dans E'. L'ensemble A des points x tels que f(x)=g(x) est fermé dans E.
Il est équivalent de montrer que E-A est ouvert. Soit a∈E-A, alors f(a)≠g(a). Les points f(a) et g(a) de E' étant distincts, il existe un voisinage V1 de f(a) et un voisinage V2 de g(a) tels que V1∩V2=∅. Comme f est continue en a il existe un voisinage U1 de a tel que f(U1)⊆V1, et il existe un voisinage U2 de a tel que f(U2)⊆V2. Posons U=U1∩U2, alors U est un voisinage de a tel que tout point de U est dans E-A.
NB: Le théorème suivant s'applique en particulier au cas où E et E' sont des espaces métriques. Il suffit même que E' soit un espace métrique puisque les espaces métriques sont séparés.
Le résultat suivant est connu sous le nom de "principe de prolongement des identités".
Soientf et g deux applications continues d'un espace topologique (E,$\mathfrak{T}$) dans un espace topologique séparé (E',$\mathfrak{T'}$) ; si f(x)=g(x) pour tout x d'un sous-ensemble A dense dans E, alors f=g.
Car l'ensemble des points x où f(x)=g(x) est fermé d'après le résultat précédent, et contient A.
Là encore le résultat reste valable dans le cas où E et E' sont des espaces métriques.
Soient f et g deux applications continues d'un espace topologique (E,$\mathfrak{T}$) dans la droite réelle achevée $\overline{\mathbb{R}}$. L'ensemble P des points x∈E tels que f(x)≤g(x) est fermé dans E.
Montrons que E-P est ouvert. Supposons f(a)>g(a) et soit β∈$\mathbb{R}$ tel que f(a)>β>g(a) (l'existence de β résulte de la définition de $\overline{\mathbb{R}}$). L'image réciproque V par f de l'intervalle ouvert ]β,+∞] est un voisinage ouvert de a d'après les propriétés des applications continues ; il en est de même de l'image réciproque W par g de l'intervalle ouvert [-∞,β[. Par suite V∩W est un voisinage de a et pour tout x∈V∩W f(x)>β>g(x).
Le résultat suivant est connu sous le nom de "principe de prolongement des inégalités".
Soient f et g deux applications continues d'un espace topologique (E,$\mathfrak{T}$) dans la droite réelle achevée $\overline{\mathbb{R}}$ ; si f(x)≤g(x) pour tous les points x d'un sous-ensemble A dense dans E, alors f(x)≤g(x) pour tout x∈E.
Ce théorème se déduit du précédent comme le premier se déduit du second.
Les deux résultats qui suivent bien que susceptibles de plusieurs généralisations, concernent principalement les espaces métriques et le prolongement des applications uniformément continues.
Soient A un sous-ensemble dense d'un espace métrique (E,d) et f une une application de A dans un espace métrique (E',d'). Pour qu'il existe une application continue $\overline{f}$ de (E,d)) dans (E',d') coïncidant avec f dans A (prolongeant f), il faut et il suffit que, pour tout x∈E, la limite $\lim_{y\rightarrow x,y\in A}f(y)$ existe dans E'; l'application continue $\overline{f}$ est alors unique.
Comme tout x de E appartient à $\overline{A}$, nous devons avoir $\overline{f}(x)=\lim_{y\rightarrow x,y\in A}\overline{f}(y)$ en vertu de ce résultat. Ceci montre la nécessité de la condition et le fait que si l'application continue $\overline{f}$ existe, elle est unique, en vertu du second résultat de cette page (principe de prolongement des identités). Réciproquement, supposons la condition satisfaite et montrons que l'application définie par $\overline{f}(x)=\lim_{y\rightarrow x,y\in A}\overline{f}(y)$ est une solution du problème de prolongement. Tout d'abord si x∈A l'existence de la limite implique par définition $\overline{f}(x)=f(x)$ donc $\overline{f}$ prolonge f, et il reste à voir que $\overline{f}$ est continue. Soit x∈E, V' un voisinage de $\overline{f}(x)$ dans E' ; il existe une boule fermée B' de centre $\overline{f}(x)$ contenue dans V'. Par hypothèse, il existe un voisinage ouvert V de x dans E, tel que f(V∩A)⊆B' d'après la caractérisation des limites. Pour tout y∈V, $\overline{f}(y)$ est la limite de f au point y par rapport à A, donc aussi par rapport à V∩A d'après ce résultat, il en résulte donc que que $\overline{f}(y)\in \overline{f(V\cap A)}$ et par suite $\overline{f}(y)\in B'$ puisque B' est fermée d'après ce résultat.
Soit A un sous-ensemble dense d'un espace métrique (E,d), et f une application uniformément continue de A dans un espace métrique complet (E',d'). Alors il existe une application continue $\overline{f}$ de E dans E' coïncidant avec f dans A ; de plus f est uniformément continue.
Pour prouver l'existence de $\overline{f}$, il nous suffit, d'après le résultat précédent et ce résultat de montrer que l'oscillation de f en un point quelconque x∈E par rapport à A est nulle. Mais pour ε>0, il existe δ>0 tel que d(y,z)<δ implique d'(f(y),f(z))<ε/3 (y,z dans A). Donc le diamètre de f(A∩B(x;δ/2)) est au plus ε/3, d'où le résultat. Considérons maintenant deux points quelconques s,t dans E tels que d(s,t)<δ/2. Il existe un y∈A tel que d(s,y)<δ/4 et d'(f(s),f(y))<ε/3 ; donc, d'après l'inégalité du triangle d'($\overline{f}(s)$,$\overline{f}(t)$)<ε ; ceci montre que $\overline{f}$ estuniformément continue.