A quelques modifications mineures près, le plan est celui du Ch VII du livre de Dieudonné (fondements de l'analyse moderne). Simplement nous présentons la topologie de la convergence simple comme un cas particulier d'une topologie produit, et nous insistons sur les différentes notions de convergence. Nous introduisons dès à présent la notion d'intégrale définie pour les fonctions réglées puisqu'à ce niveau aucune notion n'est nécessaire concernant le calcul différentiel.
Le résultat le plus important de ce chapitre est le théorème d'approximation de Stone-Weierstrass. Il permet d'affirmer que certains ensembles dénombrables de fonctions continues sont denses pour une certaine norme. Dès lors qu'on veut démontrer en toute généralité une propriété passant à la limite pour la norme en question il suffit de démontrer la propriété pour les fonctions de ces ensembles denses.
Nous montrerons en outre que ces ensembles denses sont souvent des combinaisons linéaires de systèmes dénombrables, de sorte que pour montrer une propriété linéaire, il suffit de la démontrer uniquement pour les fonctions de ces systèmes. Ces systèmes seront souvent des bases orthonormales d'espaces de Hilbert.
Bases de l'analyse mathématique
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