Produits scalaires


Formes hermitiennes

K désigne soit le corps $\mathbb{R}$ des nombres réels, soit le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes. E désigne un K-espace vectoriel. Pour tout scalaire λ, $\overline{λ}$ désigne soit le réel λ lui-même si K=$\mathbb{R}$, soit le complexe conjugué de λ si K=$\mathbb{C}$.

Avec ces conventions nous pouvons donner notre première définition :

Une forme hermitienne sur E est une application de E×E dans K souvent notée (x,y)→(x|y), possédant les propriétés suivantes :

  1. (x+x'|y)=(x|y)+(x'|y)
  2. (x|y+y')=(x|y)+(x|y')
  3. (λx|y)=λ(x|y)
  4. (x|λy)=$\overline{λ}$(x|y)
  5. $(y|x)=\overline{(x|y)}$

Remarquons que dans le cas réel, les formes hermitiennes sont tout simplement les formes bilinéaires symétriques. Remarquons aussi que dans le cas complexe les formes hermitiennes sont les formes sesquilinéaires possédant en plus la propriété 5.


Exemples

  • Soit E un espace de dimension finie sur K et (a1,...,an) une base de E. Soit (|) une forme hermitienne sur E et posant αi,j=(ai|aj). Soient enfin $x=\sum_{i=1}^{n}\xi_{i}a_{i}$ et $y=\sum_{i=1}^{n}\eta_{i}a_{i}$ deux vecteurs de E. Un rapide calcul montre que $(x|y)=\sum_{i,j}^{ }\alpha _{i,j}\xi _{i}\overline{\eta _{j}}$ et que toute expression de ce type fournit une forme hermitienne sur E.
  • Soit E l'espace vectoriel des fonctions continues sur [a,b], $(f|g)=\int_{a}^{b}f(t)g(t)dt$ définit une forme hermitienne sur E.


Orthogonalité

Soit (|) une forme hermitienne sur E, Deux vecteurs x et y sont dits orthogonaux relativement à (|) si (x|y)=0

La relation est évidemment symétrique. On remarquera que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de E. Mais deux vecteurs peuvent être orthogonaux sans que l'un des deux soit nul par exemple sur $\mathbb{R}$2 avec la forme (x|y)=x1y1+x2y2 les deux vecteurs (1,0 et (0,1) sont orthogonaux.

Deux sous-espaces F et F' de E sont dits orthogonaux si tout vecteur du premier est orthogonal à tout vecteur du second.

Si F est un sous espace de E, l'ensemble des vecteurs de E orthogonaux à tous les vecteurs de F est un sous-espace de E noté F⊥ et appelé l'orthogonal de F.

Ceci se vérifie immédiatement sur les définitions.

Si E⊥ n'est pas égal à {0} on dit que la forme est dégénérée

Tout vecteur x non nul orthogonal a lui-même est appelé un vecteur isotrope.


Formes hermitiennes positives

On dit qu'une forme hermitienne (|) sur un espace vectoriel E est positive si (x|x)>0 ∀ x ∈ E.

La forme donnée plus haut en second exemple est positive.

Le résultat suivant est connu sous le nom d'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Si (|) est une forme hermitienne positive alors :
$\left | \left ( x|y \right ) \right |^{2}\leqslant \left ( x|x \right )\left ( y|y \right )$ pour tout couple de vecteurs (x,y) ∈ E2.
Posons a=(x|x), b=(x|y), c=(y|y) et remarquons que a et c sont réels et positifs. Supposons d'abord c≠0 et écrivons que (x+λy|x+λy)≥ 0 quel que soit le scalaire λ, ce qui donne
a+b$\overline{λ}$+$\overline{b}$λ+cλ$\overline{λ}$≥0 ; en remplaçant λ par -b/c on obtient l'inégalité.
Un raisonnement analogue s'applique dans le cas où c=0, a≠0.
Enfin, si a=c=0, la substitution λ=-b conduit à -2$b$$\overline{b}$≥0 c'est à dire b=0.

Pour qu'une forme hermitienne positive (|) sur E soit non dégénérée, il faut et il suffit qu'il n'existe pas d'autre vecteur isotrope pour cette forme que le vecteur nul. c'est à dire que
f(x,x)>0 ∀ x≠0 dans E.

En effet, (x|x)=0 implique, d'après Cauchy-Schwarz, que (x|y)=0 pour tout y∈E.

Le résultat suivant est connu sous le nom d'inégalité de Minkowski.
Si (|) est une forme hermitienne positive, alors :
$\sqrt{\left ( x+y|x+y \right )}\leqslant \sqrt{(x|x)}+\sqrt{\left ( y|y \right )}$
pour tout couple de vecteurs (x,y) de E2.

Comme
$(x+y|x+y)=(x|x)+(x|y)+\overline{(x|y)}+(y|y)$
L'inégalité est équivalente à :
2$\mathfrak{R}$e $(x|y)$=$(x|y)$+$\overline{(x|y)}$≤2$\sqrt{(x|x)(y|y)}$
qui résulte de Cauchy-Schwarz.

Produit scalaire

E étant un espace vectoriel réel ou complexe, un produit scalaire sur E consiste en la donnée d'une forme hermitienne positive non dégénérée. on dit encore une forme définie positive.

Il résulte immédiatement de cette définition et des résultats qui précèdent que :

Si (|) est un produit scalaire sur E, alors
$x\rightarrow ^{\sqrt{\left ( x|x \right )}}$ est une norme sur E, faisant de E un espace normé.

Un espace pré-hilbertien, consiste en la donnée d'un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire au sens précédent. Un tel espace est donc en particulier un espace vectoriel normé.

Le résultat suivant est connu sous le nom de théorème de Pythagore.
Dans un espace pré-hilbertien, si x et y sont des vecteurs orthogonaux on a :
$\left \| x+y \right \|^{2}=\left \| x \right \|^{2}+\left \| y \right \|^{2}$

Cela résulte simplement de la définition de la norme et de l'orthogonalité.

Dans tout espace pré-hilbertien on a la relation, dite du parallélogramme:
||x+y||2+||x-y||2=2||x||2 + 2||y||2

La preuve est immédiate elle résulte des propriétés du produit scalaire.
Voici une illustration empruntée à Wikipédia:

Un espace de Hilbert, ou encore un espace hilbertien est un espace pré-hilbertien qui, en tant qu'espace normé, est complet. Un tel espace est donc en particulier un espace de Banach.

Les exemples les plus simples et les plus classiques sont:

  1. L'espace ℝn avec le produit scalaire $\left ( x|y \right )=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$
  2. L'espace ℂn avec le produit scalaire $\left ( x|y \right )=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\overline{y_{i}}$
  3. L'espace E des fonctions continues sur l'intervalle [a,b], à valeurs réelles, avec le produit scalaire $\left ( f|g \right )=\int_{a}^{b}f\left ( t \right )g\left ( t \right )dt$

Les deux premiers correspondent à des espaces de dimension finie, ce qui n'est pas le cas du troisième.

Exercices

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