Dans tout ce qui suit K désigne le corps $\mathbb{R}$ des nombres réels ou bien le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes. E désigne un espace vectoriel sur K. Pour tout scalaire λ∈K |λ| désigne soit la valeur absolue de λ si λ est réel soit le module de λ si λ est complexe.
Nous allons voir qu'une structure d'espace vectoriel topologique peut être déduite d'une fonction particulière de E dans $\mathbb{R}$.
Normes
Une norme sur E est une application de E dans $\mathbb{R}$ souvent notée x→||x|| ayant les propriétés suivantes :
- ||x||≥0 pour tout x∈E.
- ||x||=0 si et seulement si x est le vecteur nul.
- ||λx||=|λ|||x|| pour tout scalaire λ∈K et tout vecteur x∈E.
- ||x+y||≤||x||+||y|| (inégalité dite 'du triangle')
Exemples de normes
- Si E=K, en posant ||λ||=|λ|- on obtient évidemment une norme sur E.
- Si E=Kn, pour tout vecteur x=(x1,...,xn)en posant $||x||=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|$ on obtient une norme sur E.
- Si E=Kn, pour tout vecteur x=(x1,...,xn)en posant $||x||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}$ on obtient une norme sur E.
- Si E=Kn, pour tout vecteur x=(x1,...,xn)en posant $||x||=Sup_{1\leq i\leq n}|x_{i}|$ on obtient une norme sur E.
- Si E est l'espace de toutes les suites bornées x=(xi)i∈$\mathbb{N}$ d'éléments de K en posant $||x||=Sup_{i \in \mathbb{N}}|x_{i}|$ on obtient une norme sur E, qui n'est que la généralisation du cas précédent.
- Si E est l'espace de toutes les fonctions bornées de K dans K en posant $||f||=Sup_{x \in K}|f(x)|$ on obtient une norme sur E.
- Si E=Kn, pour tout vecteur x=(x1,...,xn) et tout entier p≥1, en posant $||x||=\left ( \sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p} \right )^{\frac{1}{p}}$ on obtient une norme sur E, notée || ||p. Avec ces notations on s'aperçoit que l'exemple 2. correspond à || ||1 et l'exemple 3. à || ||2. Pour une démonstration de ce résultat voir cet exercice.
Espaces normés
Si || || est une norme sur l'espace vectoriel E, en posant d(x,y)=||x-y|| pour tout couple de vecteurs (x,y) de E on obtient une distance sur E.
- En effet d est à valeurs positives à cause de la propriété 1.
- d(x,y)=0⇔x=y à cause de la propriété 2.
- d est symétrique parce que ||x-y||=|-1|||y-x||.
- l'inégalité du triangle pour d résulte de l'inégalité du triangle pour || ||.
Si || || est une norme sur l'espace vectoriel E, la distance d définie ci-dessus au moyen de la norme || || fait de E un espace métrique. Avec cette distance E devient un espace vectoriel topologique.
Il suffit de vérifier que (λ,x)→λx et (x,y)→x+y sont continues, mais en fait l'une et l'autre sont même uniformément continues en vertu de :
$||(x+y)-(x_{0}+y_{0})||$
=
$||(x-x_{0})+(y-y_{0})||$
≤
$||x-x_{0}||+||y-y_{0}||$
et de :
$||\lambda x-\lambda_{0}x_{0}||$=
$||\lambda _{0}(x-x_{0})+(\lambda -\lambda _{0})x_{0} +(\lambda -\lambda _{0})(x-x_{0})||$
≤
$|\lambda _{0}|.||x-x_{0}||+|\lambda -\lambda _{0}|.||x_{0}||+|\lambda -\lambda _{0}|.||x-x_{0}||$
$||(x+y)-(x_{0}+y_{0})||$
=
$||(x-x_{0})+(y-y_{0})||$
≤
$||x-x_{0}||+||y-y_{0}||$
et de :
$||\lambda x-\lambda_{0}x_{0}||$=
$||\lambda _{0}(x-x_{0})+(\lambda -\lambda _{0})x_{0} +(\lambda -\lambda _{0})(x-x_{0})||$
≤
$|\lambda _{0}|.||x-x_{0}||+|\lambda -\lambda _{0}|.||x_{0}||+|\lambda -\lambda _{0}|.||x-x_{0}||$
Si || || est une norme sur E, l'espace vectoriel topologique E muni de la distance d héritée de la norme || || sera appelé un espace normé et noté (E,|| ||) ou plus simplement E si aucune confusion n'est possible pour ce qui concerne la norme en question.
Si l'espace normé (E,|| ||) est complet avec la distance d héritée de sa norme, on dira que c'est un espace de Banach.
Si E est un espace normé sur K l'application (x,y)→x+y est non seulement continue sur E×E mais elle est uniformément continue, et pour tout scalaire λ fixé l'application x→λx est également uniformément continue.
La démonstration est évidente compte tenu des définitions.
On déduit de ce résultat que pour tout λ≠0 toute homothétie x→λx est un homéomorphisme de E sur lui-même. Il en est de même de toute translation x→a+x où a est un vecteur quelconque.