Cas général

E et F désignent des espaces de Banach, U un ouvert de E, a un point de U. On suppose que f:U→F est une application deux fois différentiable en a.
On suppose en outre que E est un produit d'espaces de Banach E=E₁×...×E_n. Cela implique en particulier que f est différentiable en tout point x d'un voisinage de a.
En outre nous avons d'après ce résultat :
$$f'(x).(h_{1},...,h_{n})=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(x).h_{j} \text{ pour } h_{j}\in E_{j} \tag{1}$$
La même formule appliquée à f' au lieu de f donne :
$$f''(a).(k_{1},...,k_{n})=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f'}{\partial x_{i}}(a).k_{i} \text{ pour } k_{i}\in E_{i} \tag{2}$$
Par conséquent :
$$\left (f''(a).(k_{1},...,k_{n}) \right ).(h_{1},...,h_{n})=\sum_{i=1}^{n}\left (\frac{\partial f'}{\partial x_{i}}(a).k_{i} \right ).(h_{1},...h_{n}) \tag{3}$$
Pour bien comprendre le sens de cette relation il faut garder à l'esprit le fait que :
$$\frac{\partial f'}{\partial x_{i}}(a)\in \mathfrak{L}\left ( E_{i};\mathfrak{L}(E;F) \right )$$
et donc que :
$$\frac{\partial f'}{\partial x_{i}}(a).k_{i}\in \mathfrak{L}(E;F)$$
et que la valeur de cette expression sur le vecteur (h₁,...h_n) est un élément de F.
Pour calculer $\frac{\partial f'}{\partial x_{i}}(a)$ on utilise la relation (1). En dérivant (1) par rapport à x_i, on obtient :
$$\left ( \frac{\partial f'}{\partial x_{i}}(a).k_{i} \right ).\left ( h_{1},...,h_{n} \right )=\sum_{j=1}^{n}\left ( \frac{\partial }{\partial x_{i}}\left ( \frac{\partial f}{\partial x_{j}} \right )(a).k_{i} \right ).h_{j} \tag{4}$$
Notons maintenant $\frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(a)$ la valeur au point a de $\frac{\partial }{\partial x_{i}}\left ( \frac{\partial f}{\partial x_{j}} \right )$ ; c'est un élément de $\mathfrak{L}\left ( E_{i};\mathfrak{L}\left ( E_{j};F \right ) \right )\approx \mathfrak{L}\left ( E_{i},E_{j};F \right )$.
Si dans (3) on remplace le second membre par sa valeur tirée de (4), on obtient enfin :

Telle est la relation fondamentale qui exprime $f''(a)\in \mathfrak{L}\left ( E,E;F \right )$ à l'aide des dérivées partielles :
$$\frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(a)\in \mathfrak{L}\left ( E_{i},E_{j};F \right )$$

Exprimons maintenant que f''(a):E×E→F est une application bilinéaire symétrique (voir ce résultat). Par échange de k_i et h_i pour chaque indice i, la relation (5) donne :
$$\sum_{i,j=1}^{n}\left ( \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(a).k_{i} \right ).h_{j}=\sum_{i,j=1}^{n}\left ( \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(a).h_{i} \right ).k_{j}$$
ou encore en échangeant les indices muets de sommation i et j dans le second membre :
$$\sum_{i,j=1}^{n}\left ( \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(a).k_{i} \right ).h_{j}=\sum_{i,j=1}^{n}\left ( \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}(a).h_{j} \right ).k_{i}$$
Mais ceci est une identité. on peut donc l'appliquer à des valeurs convenablement choisies, en particulier si nous prenons pour h un vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles sauf celle d'indice j, soit h_j, et de la même façon pour k un vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la i-ème égale à k_i.
Il vient alors :
$$\left ( \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(a).k_{i} \right ).h_{j}=\left ( \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}(a).h_{j} \right ).k_{i} \tag{6}$$
Pour tout couple (i,j).
Ceci exprime que l'application bilinéaire :
$$\frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}(a): E_{j}\times E_{i}\rightarrow F$$
est composée de l'application de symétrie E_j×E_i→E_j×E_i qui envoie (x,y) sur (y,x) et de l'application bilinéaire :
$$\frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(a): E_{i}\times E_{j}\rightarrow F$$
On peut résumer cela en disant que :

En particulier faisant i=j :

Dans tout ce qui précède on a supposé a priori l'existence de f''(a), ce qui entraînait l'existence des dérivées partielles secondes. Or en appliquant deux fois ce théorème, on obtient une condition suffisante pour que f soit deux fois dérivable en a.

Cas où E₁=E₂=....=E_n=K (K=ℝ ou ℂ)

Dans ce cas $\mathfrak{L}(E_{i};F)=\mathfrak{L}(K,F )\approx F$. Les dérivées partielles premières et secondes s'identifient à des éléments de F, et même à des nombres si F=K.
Désignons par c_ij l'élément de F représentant $\frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}$.
L'application bilinéaire correspondante K×K→F n'est autre que (λ_i,λ_j)→λ_iλ_jc_ij .
D'après les résultats ci-dessus, nous avons :
λ_iλ_jc_ij=λ_jλ_ic_ji, quels que soient les λ_i et les λ_j. On en déduit c_ij=c_ji.
Nous pouvons ainsi reformuler tout cela sous la forme du théorème suivant, connu sous le nom de théorème de Schwarz :

Ce théorème dit qu'on peut inverser l'ordre des dérivations partielles.

Exercices