E et F désignent des espaces de Banach, V un ouvert de E et W un ouvert de F. f désigne une application de V dans W.
On dit que f est un difféomorphisme de classe C1 ou encore un C1-difféomorphisme, si f est bijective, de classe C1 et si l'application réciproque f-1:W→V est aussi de classe C1
Remarquons qu'un homéomorphisme peut être de classe C1 sans être un C1-difféomorphisme. L'exemple usuel est l'application x→x3 de ℝ dans ℝ qui est bijective et bicontinue. Cependant l'application réciproque x→ x1/3, n'est pas différentiable à l'origine.
Le résultat suivant est un lemme technique dont nous aurons souvent besoin :
Soit f:V→W un homéomorphisme ; supposons f différentiable en un point a∈V. Pour que f-1 soit différentiable en b=f(a) il faut et il suffit que f'(a) soit bijective et alors (f-1)'(b)=(f'(a))-1.
La condition est nécessaire en vertu du théorème de dérivation des fonctions composées et du fait que la dérivée de la fonction identique est elle-même.
Montrons maintenant que la condition est suffisante :
On suppose que f'(a) est bijective, il s'agit de démontrer que g=f-1 est différentiable en b=f(a).
Puisque f est différentiable au point a, on a en posant y=f(x) pour x voisin de a :
$$y-b=f'(a).(x-a)+\left \| x-a \right \|.\varphi (x-a) \tag{1}$$
avec $\lim_{x\rightarrow a}\varphi (x-a)=0$.
Appliquons aux deux membres l'application linéaire (f'(a))-1 :
$$x-a=(f'(a))^{-1}.(y-b)+\left \| x-a \right \|(f'(a))^{-1}.\varphi (x-a) \tag{2}$$
Tout revient à prouver que :
$$\left \| x-a \right \|(f'(a))^{-1}.\varphi (x-a)=o(y-b)$$
Posons pour abréger :
$$(f'(a))^{-1}.\varphi (x-a)=\psi (x-a)$$
Ceci tend vers 0 quand x tend vers a puisque (f'(a))-1 est une application linéaire continue de F dans E. La relation (2) entraîne :
$$\left \| (f'(a))^{-1}.(y-b) \right \|\geqslant \left \| x-a \right \|\left ( 1-\left \| \psi (x-a) \right \| \right )$$
d'où :
$$\left \| x-a \right \|\leqslant \left \| y-b \right \|.\frac{\left \| (f'(a))^{-1} \right \|}{1-\left \| \psi (x-a) \right \|}$$
dès que ||x-a|| est assez petit pour que ||ψ(x-a)||<1. D'où :
$$\left \| x-a \right \|.\left \| \psi (x-a) \right \|\leqslant \left \| y-b \right \|.(f'(a))^{-1}.\frac{\left \| \psi (x-a) \right \|}{1-\left \| \psi (x-a) \right \|}=o(\left \| y-b \right \|)$$
Montrons maintenant que la condition est suffisante :
On suppose que f'(a) est bijective, il s'agit de démontrer que g=f-1 est différentiable en b=f(a).
Puisque f est différentiable au point a, on a en posant y=f(x) pour x voisin de a :
$$y-b=f'(a).(x-a)+\left \| x-a \right \|.\varphi (x-a) \tag{1}$$
avec $\lim_{x\rightarrow a}\varphi (x-a)=0$.
Appliquons aux deux membres l'application linéaire (f'(a))-1 :
$$x-a=(f'(a))^{-1}.(y-b)+\left \| x-a \right \|(f'(a))^{-1}.\varphi (x-a) \tag{2}$$
Tout revient à prouver que :
$$\left \| x-a \right \|(f'(a))^{-1}.\varphi (x-a)=o(y-b)$$
Posons pour abréger :
$$(f'(a))^{-1}.\varphi (x-a)=\psi (x-a)$$
Ceci tend vers 0 quand x tend vers a puisque (f'(a))-1 est une application linéaire continue de F dans E. La relation (2) entraîne :
$$\left \| (f'(a))^{-1}.(y-b) \right \|\geqslant \left \| x-a \right \|\left ( 1-\left \| \psi (x-a) \right \| \right )$$
d'où :
$$\left \| x-a \right \|\leqslant \left \| y-b \right \|.\frac{\left \| (f'(a))^{-1} \right \|}{1-\left \| \psi (x-a) \right \|}$$
dès que ||x-a|| est assez petit pour que ||ψ(x-a)||<1. D'où :
$$\left \| x-a \right \|.\left \| \psi (x-a) \right \|\leqslant \left \| y-b \right \|.(f'(a))^{-1}.\frac{\left \| \psi (x-a) \right \|}{1-\left \| \psi (x-a) \right \|}=o(\left \| y-b \right \|)$$
Les notations restant les mêmes que précédemment, ce lemme étant établi, nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Soit f:V→W un homéomorphisme de classe C1, Pour que f soit un C1-difféomorphisme, il faut et il suffit que pour tout x∈V f'(x) soit une application linéaire bijective.
La condition de l'énoncé étant évidemment nécessaire il suffit de démontrer qu'elle est suffisante.
Supposons que que pour tout x de V f'(x) soit un isomorphisme linéaire continu de E dans F. Il résulte du lemme précédent que g=f-1 est différentiable en tout point y∈W et que
$$g'(y)=(f'(g(y)))^{-1}\tag{4}$$
Il reste à démontrer que g est de classe C1, c'est à dire que l'application $g':W\rightarrow \mathfrak{L}(F;E)$ est continue.
Or (4) montre que cette application est composée de 3 applications :
Supposons que que pour tout x de V f'(x) soit un isomorphisme linéaire continu de E dans F. Il résulte du lemme précédent que g=f-1 est différentiable en tout point y∈W et que
$$g'(y)=(f'(g(y)))^{-1}\tag{4}$$
Il reste à démontrer que g est de classe C1, c'est à dire que l'application $g':W\rightarrow \mathfrak{L}(F;E)$ est continue.
Or (4) montre que cette application est composée de 3 applications :
- L'application g qui est continue puisque f est supposée être un homéomorphisme.
- L'application f' qui est continue puisque f a été supposée de classe C1.
- L'application u→u-1 de Isom(E;F) dans Isom(F;E) qui est continue (et même différentiable) en vertu de ce théorème.
Remarquons que dans le cas de la dimension finie, la condition f'(a)∈Isom(E;F) se traduit par le fait que le jacobien de f au point a est non nul.