Soit U un ouvert connexe d'un espace de Banach E, (fn) une suite d'applications différentiables de U dans un espace de Banach F.
On fait les suppositions suivantes :
On fait les suppositions suivantes :
- Il existe un point x0∈U tel que la suite (fn(x0)) converge dans F.
- Pour tout point a∈U il existe une boule B(a) de centre a contenue dans U et telle que dans B(a) la suite (f'n) converge uniformément.
Dans ces conditions :
- Pour tout a∈U, la suite (fn) converge uniformément dans B(a).
- Si pour tout x∈A f(x)=limn→∞ fn(x) et g(x)=limn→∞ f'n(x), alors g(x)=f'(x).
Soir r le rayon de B(a) ; alors d'après ce résultat pour tout x∈B(a) on a :
‖Comme la suite (f'n) est uniformément convergente dans B(a) et que F est complet, ceci prouve que si la suite (fn) est convergente en un point quelconque de B(a) elle est aussi convergente en tout point de B(a), et en fait uniformément convergente dans B(a).
Cela montre que l'ensemble V des points x tels que (fn(x)) soit une suite convergente est à la fois ouvert et fermé dans U. Comme cet ensemble est non vide par hypothèse et que U est connexe, V=U.
Montrons enfin que g est la dérivée de f :
Etant donné ε>0, il existe par hypothèse un entier n0, tel que pour m≥n0 et n≥n0 ||f'n(z)-f'm(z)||≤ ε/r pour tout z∈B(a), et de plus ||g(a)-f'n(a)||≤ε.
Faisant tendre n vers +∞ dans (1), on voit que pour n≥n0 et x∈B(a) on a :
\left \| f(x)-f(a)-\left ( f_{n}(x)-f_{n}(a) \right ) \right \|\leqslant \varepsilon \left \| x-a \right \|D'autre part, pour n≥n0, il existe r'≤r tel que pour ||x-a||≤r', on ait :
\left \| f_{n}(x) -f_{n}(a)-f_{n}^{'}(a).(x-a)\right \|\leqslant \varepsilon \left \| x-a \right \|En utilisant cette inégalité, on voit finalement que pour ||x-a||≤r', on a :
\left \| f(x)-f(a)-g(a).(x-a) \right \|\leqslant 3\varepsilon \left \| x-a \right \|ce qui prouve que f'(a) existe et est égale à g(a).
‖Comme la suite (f'n) est uniformément convergente dans B(a) et que F est complet, ceci prouve que si la suite (fn) est convergente en un point quelconque de B(a) elle est aussi convergente en tout point de B(a), et en fait uniformément convergente dans B(a).
Cela montre que l'ensemble V des points x tels que (fn(x)) soit une suite convergente est à la fois ouvert et fermé dans U. Comme cet ensemble est non vide par hypothèse et que U est connexe, V=U.
Montrons enfin que g est la dérivée de f :
Etant donné ε>0, il existe par hypothèse un entier n0, tel que pour m≥n0 et n≥n0 ||f'n(z)-f'm(z)||≤ ε/r pour tout z∈B(a), et de plus ||g(a)-f'n(a)||≤ε.
Faisant tendre n vers +∞ dans (1), on voit que pour n≥n0 et x∈B(a) on a :
\left \| f(x)-f(a)-\left ( f_{n}(x)-f_{n}(a) \right ) \right \|\leqslant \varepsilon \left \| x-a \right \|D'autre part, pour n≥n0, il existe r'≤r tel que pour ||x-a||≤r', on ait :
\left \| f_{n}(x) -f_{n}(a)-f_{n}^{'}(a).(x-a)\right \|\leqslant \varepsilon \left \| x-a \right \|En utilisant cette inégalité, on voit finalement que pour ||x-a||≤r', on a :
\left \| f(x)-f(a)-g(a).(x-a) \right \|\leqslant 3\varepsilon \left \| x-a \right \|ce qui prouve que f'(a) existe et est égale à g(a).
On peut améliorer ces résultats lorsque E=ℝ et que U est un intervalle de ℝ.
Soit (gn) une une suite d'applications d'un intervalle I⊆ℝ dans F et supposons que pour tout n, gn(x) soit la dérivée d'une fonction continue fn sauf peut-être en des points x formant un ensemble au plus dénombrable Dn⊆I.
On suppose en outre :
On suppose en outre :
- Qu'il existe un point x0∈I tel que la suite fn(x0) converge.
- Que pour tout point x∈I il existe un voisinage B(x) de x par rapport à I, tel que la suite (gn) converge uniformément.
Sous ces hypothèses pour tout x∈I, la suite (fn) converge uniformément dans B(x), et si l'on pose f(x)=limn→+∞fn(x)et g(x)=limn→+∞gn(x), alors en tout point x de D=∪nDn, f est dérivable et f'(x)=g(x).
La démonstration est identique à celle du théorème précédent en utilisant ce théorème au lieu de celui-là.
On déduit en particulier du premier théorème de cette page par application aux sommes partielles :
Soit U une partie ouverte connexe d'un espace de Banach E, et soir (un) une suite d'applications différentiables de U dans un espace de Banach F.
Si pour tout a∈U il existe une boule B(a) de centre a contenue dans U, telle que la série (u'n) soit uniformément convergente dans B(a) et s'il existe un point x0∈U tel que la série (un(x0)) soit convergente, alors pour chaque a∈U la série (un) est uniformément convergente dans B(a) et sa somme s(x) possède une dérivée égale à \sum_{n=0}^{\infty }u_{n}^{'}(x) pour tout x∈U.
Si pour tout a∈U il existe une boule B(a) de centre a contenue dans U, telle que la série (u'n) soit uniformément convergente dans B(a) et s'il existe un point x0∈U tel que la série (un(x0)) soit convergente, alors pour chaque a∈U la série (un) est uniformément convergente dans B(a) et sa somme s(x) possède une dérivée égale à \sum_{n=0}^{\infty }u_{n}^{'}(x) pour tout x∈U.