Soit E un espace topologique et A un sous-ensemble de E. On dit que A est dense dans E si l'adhérence de A, $\overline{A}$, est égale à E.
Cela revient à dire que le plus petit fermé contenant A est E lui-même, ou encore que pour tout point x de E et tout voisinage V de x, V contient un point de A.
La notion qui suit est fondamentale en topologie, elle est à la base d'une technique de démonstration consistant à établir une propriété pour un ensemble restreint de points d'un espace et à l'étendre ensuite en utilisant des arguments de continuité.
Par exemple $\mathbb{R}$ avec la distance usuelle est séparable car $\mathbb{Q}$ est un sous-ensemble dénombrable dense de $\mathbb{R}$.
Il est possible d'obtenir une caractérisation des espaces métriques séparables au moyen des bases d'ouverts :
Pour qu'un espace métrique (E,d) soit séparable, il faut et il suffit qu'il existe une base au plus dénombrable pour les ensembles d'ouverts de E.
La condition est suffisante, car si (Gn) est une telle base et an un point de Gn, tout ensemble ouvert non vide est une réunion de certains des Gn, donc son intersection avec l'ensemble au plus dénombrable des an n'est pas vide.
Réciproquement, supposons qu'il existe une suite (an) de points de E telle que l'ensemble des points de cette suite soit dense dans E ; alors la famille des boules ouvertes B(an; 1/m) où m parcourt l'ensemble des entiers strictement positifs et qui est au plus dénombrable, est une base pour les ensembles ouverts de E. En effet, pour chaque x∈E et chaque r>0, il existe un indice m tel que 1/m<r/2, et un indice n tel que an∈B(x;1/m). Ceci implique que x∈B(an;1/m) ; d'autre part si y∈B(an;1/m), alors d(x,y)<d(x,an+d(an,y)≤2/m<r, donc B(an;1/m)⊆B(x;r), ce qui achève la démonstration.
Réciproquement, supposons qu'il existe une suite (an) de points de E telle que l'ensemble des points de cette suite soit dense dans E ; alors la famille des boules ouvertes B(an; 1/m) où m parcourt l'ensemble des entiers strictement positifs et qui est au plus dénombrable, est une base pour les ensembles ouverts de E. En effet, pour chaque x∈E et chaque r>0, il existe un indice m tel que 1/m<r/2, et un indice n tel que an∈B(x;1/m). Ceci implique que x∈B(an;1/m) ; d'autre part si y∈B(an;1/m), alors d(x,y)<d(x,an+d(an,y)≤2/m<r, donc B(an;1/m)⊆B(x;r), ce qui achève la démonstration.