Les notations restent celles des pages précédentes du même chapitre. c'est à dire que f désigne une application d'un ouvert U d'un espace de Banach E vers un espace de Banach F.
Mais on suppose cette fois que F est lui-même le produit des espaces de Banach Fi pour 1≤i≤m.
$$F=F_{1}\times F_{2}\times ...\times F_{m}$$
Introduisons les notations suivantes : Pour chaque entier i tel que 1≤i≤m soit
$$p_{i}: F \rightarrow F_{i}$$
l'application de projection du produit F sur son i-ème facteur, et soit
$$u_{i}: F_{i}\rightarrow F $$
L'injection définie par
$$u_{i}\left ( x_{i} \right )=\left ( 0,...,0,x_{i},0,...,0 \right )$$
des zéros partout sauf à la i-ème place. On vérifie que ui et pi sont des applications linéaires continues et qu'elles satisfont aux relations :
$$\begin{cases} & p_{i}\circ u_{i}=Id_{F_{i}}\\ & \sum_{i=1}^{m}u_{i} \circ p_{i}=Id_{F}\end{cases} \tag{1}$$
Nous avons alors le résultat suivant :
$$f'(a)=\sum_{i=1}^{m}u_{i}\circ f'_{i}\left ( a \right ) \tag{2}$$
$$f'_{i}\left ( a \right )=p_{i}\circ f'\left ( a \right )\in \mathfrak{L}\left ( E,F_{i} \right )$$
Réciproquement, supposons que f'i soit différentiable au point a, quel que soit l'entier i (1≤i≤m) ; la deuxième relation de (1) donne
$$f=\sum_{i=1}^{m}u_{i}\circ p_{i} \circ f=\sum_{i=1}^{m}u_{i} \circ f_{i}$$
Donc d'après la linéarité de la dérivée, la règle de dérivation des fonctions composées, et le fait qu'une fonction linéaire est dérivable et égale à sa dérivée. f est différentiable au point a et la formule (2) est démontrée.
Ce résultat a pour conséquence :
Cas particulier
K désignant soit le corps ℝ soit le corps ℂ.
Nous considérons maintenant le cas où E=F1=F2=...=Fm=K .
La donnée de f: U → Km équivaut à la donnée de m fonctions numériques fi (définies sur U⊆K et à valeurs dans K).
Une application linéaire de E dans F s'identifie à un vecteur colonne. Si f est dérivable en a la dérivée de f en a s'identifie au vecteur colonne dont les composantes sont les dérivées f'i
$$f'\left ( t_{0} \right )=\lim_{t\rightarrow t_{0},t\neq t_{0}}\frac{f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}$$
Une application (formule de Leibniz d'ordre 1)
Considérons deux espaces de Banach E1 et E2 ainsi qu'une application bilinéaire continue (x1,x2)→(x1|x2) à valeurs dans un espace de Banach F, assimilée à un 'produit'. On considère également deux applications continues u: U → E1 et v: U → E2. on peut alors faire le 'produit' de u et v défini par la fonction w où
$$w(x)=(u(x)|v(x)) \tag{3}$$. Avec ces notations :
$$w'(a).h =\left ( u'(a).h|v(a) \right )+\left ( u(a)|v'(a).h \right ) \tag{4}$$ pour tout h∈E.
$$h \rightarrow (u'(a).h,v'(a).h)$$
D'autre part le 'produit' étant une application bilinéaire est dérivable en tout point de E1×E2 (revoir cette page). L'application w définie par (3) est la composée :
$$U\overset{(u,v)}{\rightarrow}E_{1}\times E_{2}\overset{(.|.)}{\rightarrow}F$$
Donc par application du théorème de dérivation des fonctions composée elle est différentiable en a et sa dérivée est égale à la composée des applications dérivées. Explicitons cette dérivée.
On doit dans cette formule remplacer a1 par u(a) a2 par v(a), h1 par u'(a).h et h2 par v'(a).h. On obtient précisément la formule (4) du théorème.
Cas particulier
Supposons que E=ℝ c'est à dire que u et v soient des fonctions d'une variable numérique. Alors u'(a) s'identifie à un vecteur de E1 par la relation u'(a).h=h.u'(a) multiplication du vecteur u'(a) par le scalaire h. On peut en dire autant de v'(a) qui s'identifie à un vecteur de E2.
En faisant h=1 dans la relation (4) il vient :
$$w'(a)=(u'(a)|v(a))+(u(a)|v'(a))$$
et dans le cas où E1=E2=ℝ et où (x|y)=x.y (produit 'usuel'). on retrouve la formule de dérivation du produit de deux fonctions numériques.