Définition d'une application différentiable

Soient E et F deux espaces de Banach soit U un ouvert de E et a un point de U. On suppose que f et g sont deux applications définies sur A et à valeurs dans F.

On dit que f et g sont tangentes en a si et seulement si :
la quantité
$$m(r)=\sup_{\left \| x-a \right \|\leq r}\left \| f(x)-g(x) \right \|$$
qui est définie pour r suffisamment petit
vérifie :
$$\lim_{r\rightarrow 0, r> 0}\frac{m(r)}{r}=0$$
Relation que nous pouvons encore écrire en utilisant les notations de Landau m(r)=o(r).

Le résultat qui suit résulte simplement de la définition de la continuité.

Il résulte de la définition que si f et g sont tangentes en a, alors f-g est continue en a et prend la valeur 0 en a.
Nous en concluons que si f et g sont tangentes en a on a nécessairement f(a)=g(a) et si l'une des deux applications f ou g est continue en a il en est de même de l'autre.

Nous aurons maintenant besoin du lemme suivant :

Toute application linéaire tangente à 0 à l'origine est nulle.

En effet soit v une telle application linéaire. Pour tout ε>0 donné il existe r>0 tel que ||y||≤r implique ||v(y)||≤ε||y||, alors on a aussi
||v(x)||≤ε||x|| pour tout x≠0 en appliquant l'inégalité précédente à y=rx/||x||. Comme ε est arbitraire on a forcément v(x)=0 donc v est nulle.
f désigne maintenant une application définie sur un ouvert U d'un espace de Banach E et à valeurs dans un espace de Banach F, a désigne un point de a. On suppose f continue en a.
Nous avons alors le résultat suivant :

Parmi toutes les applications tangentes en a à f il en existe au plus une de la forme f(a)+u(x-a) où u est linéaire.

En effet s'il en existait deux, disons u1 et u2, la différence v=u1-u2 serait une application linéaire tangente en 0 à l'origine.

Nous dirons que f est dérivable (ou différentiable) en a s'il existe une application linéaire u telle que f soit tangente en a à f(a)+u(x-a). Cette application d'après ce qui précède est nécessairement unique et elle est continue.
Dans ces circonstances l'application u se nomme la dérivée (ou la différentielle) de f en a, u se note souvent f'(a), comme dans le cas des fonctions d'une variable, mais encore df(a) ou même Df(a)

Il résulte de ce qui précède que dans la définition de la dérivabilité de f en a on peut omettre la continuité de f en a et exiger que u soit continue, la continuité de f entraînant celle de u et vice-versa.

Exemples

La fonction
$$\begin{cases} & (x,y) \mapsto \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \text{ si }(x,y)\neq (0,0) \\& f(0,0)=0 \end{cases}$$
est continue à l'origine mais n'est pas dérivable en ce point.
En effet si x=r.cos(θ) et y=r.sin(θ) pour r≠ 0 on a f(x,y)=r.cos(θ)sin(θ). Donc la limite de
$\lim_{r\rightarrow 0}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{r}=\sin (\theta )cos(\theta )$ dépend de θ

La fonction
$$\begin{cases} & (x,y) \mapsto xy \text{ si } (x,y)\neq (0,0) \\ & f(0,0)=0 \end{cases}$$
est dérivable et de dérivée nulle à l'origine.
En effet si x=r.cos(θ) et y=r.sin(θ) pour r≠ 0 on a f(x,y)=r2.cos(θ)sin(θ). Donc
$\lim_{r\rightarrow 0, r> 0}\frac{|f(x,y)|}{r}=0$.

On dit que f est différentiable sur U si f est différentiable en tout point a de U.

Nous avons alors une application f': a→ f'(a) définie sur U et à valeurs dans $\mathfrak{L}(E,F)$ espace des applications linéaires continues de E dans F.

f' s'appelle l'application dérivée de f sur U.

On dit que f est continûment différentiable sur U, ou encore de classe C1 sur U, ou encore appartient à C1(U) si l'application x → f'(x) est continue de l'ouvert U dans l'espace $\mathfrak{L}(E;F)$.

Les définitions qui précèdent s'inspirent du cas d'une variable réelle, mais il faut faire attention au fait que maintenant les fonctions f et f' prennent leurs valeurs dans des espaces de Banach distincts.

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