Soient E et F deux espaces de Banach soit U un ouvert de E et a un point de U. On suppose que f et g sont deux applications définies sur A et à valeurs dans F.
la quantité
$$m(r)=\sup_{\left \| x-a \right \|\leq r}\left \| f(x)-g(x) \right \|$$
qui est définie pour r suffisamment petit
vérifie :
$$\lim_{r\rightarrow 0, r> 0}\frac{m(r)}{r}=0$$
Relation que nous pouvons encore écrire en utilisant les notations de Landau m(r)=o(r).
Le résultat qui suit résulte simplement de la définition de la continuité.
Nous en concluons que si f et g sont tangentes en a on a nécessairement f(a)=g(a) et si l'une des deux applications f ou g est continue en a il en est de même de l'autre.
Nous aurons maintenant besoin du lemme suivant :
En effet soit v une telle application linéaire. Pour tout ε>0 donné il existe r>0 tel que ||y||≤r implique ||v(y)||≤ε||y||, alors on a aussi
||v(x)||≤ε||x|| pour tout x≠0 en appliquant l'inégalité précédente à y=rx/||x||. Comme ε est arbitraire on a forcément v(x)=0 donc v est nulle.
f désigne maintenant une application définie sur un ouvert U d'un espace de Banach E et à valeurs dans un espace de Banach F, a désigne un point de a. On suppose f continue en a.
Nous avons alors le résultat suivant :
En effet s'il en existait deux, disons u1 et u2, la différence v=u1-u2 serait une application linéaire tangente en 0 à l'origine.
Dans ces circonstances l'application u se nomme la dérivée (ou la différentielle) de f en a, u se note souvent f'(a), comme dans le cas des fonctions d'une variable, mais encore df(a) ou même Df(a)
Il résulte de ce qui précède que dans la définition de la dérivabilité de f en a on peut omettre la continuité de f en a et exiger que u soit continue, la continuité de f entraînant celle de u et vice-versa.
Exemples
La fonction
$$\begin{cases} & (x,y) \mapsto \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \text{ si }(x,y)\neq (0,0) \\& f(0,0)=0 \end{cases}$$
est continue à l'origine mais n'est pas dérivable en ce point.
En effet si x=r.cos(θ) et y=r.sin(θ) pour r≠ 0 on a f(x,y)=r.cos(θ)sin(θ). Donc la limite de
$\lim_{r\rightarrow 0}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{r}=\sin (\theta )cos(\theta )$ dépend de θ
La fonction
$$\begin{cases} & (x,y) \mapsto xy \text{ si } (x,y)\neq (0,0) \\ & f(0,0)=0 \end{cases}$$
est dérivable et de dérivée nulle à l'origine.
En effet si x=r.cos(θ) et y=r.sin(θ) pour r≠ 0 on a f(x,y)=r2.cos(θ)sin(θ). Donc
$\lim_{r\rightarrow 0, r> 0}\frac{|f(x,y)|}{r}=0$.
Nous avons alors une application f': a→ f'(a) définie sur U et à valeurs dans $\mathfrak{L}(E,F)$ espace des applications linéaires continues de E dans F.
Les définitions qui précèdent s'inspirent du cas d'une variable réelle, mais il faut faire attention au fait que maintenant les fonctions f et f' prennent leurs valeurs dans des espaces de Banach distincts.