Définitions
E désigne un espace topologique et A un sous-ensemble de E.
L'intérieur d'un ensemble est la réunion de tous les ouverts inclus dans cet ensemble. L'intérieur de A sera noté $\overset{o}{A}$.Tout point de $\overset{o}{A}$ sera dit intérieur à A.
l'extérieur de A est par définition l'intérieur de E-A. Un point est dit extérieur à A s'il appartient à l'extérieur de A.
Propriétés
Il résulte immédiatement des définitions ci-dessus que l'intérieur d'un ensemble est un ouvert et que c'est le plus grand ouvert contenu dans cet ensemble.
A=$\overset{o}{A}$ ⇔ A ouvert.
x intérieur à A ⇔ A voisinage de x.
Idempotence : $\overset{o}{\overset{o}{A}}=\overset{o}{A}$
Opérateur croissant : A ⊆ B ⇒ $\overset{o}{A}$ ⊆ $\overset{o}{B}$.
Si A et B sont deux parties d'un espace topologique $\overset{o}{A}$ ∩ $\overset{o}{B}$ = $\overset{o}{\widehat{A\cap B}}$.
Si A et B sont deux parties d'un espace topologique $\overset{o}{A}$ ∪ $\overset{o}{B}$ ⊆ $\overset{o}{\widehat{A\cup B}}$ , la réciproque étant fausse (voir exercices).
L'extérieur de A est inclus dans E-A, mais n'est pas en général égal à E-A (voir exercices).
Dans le cas d'un espace métrique pour qu'un point x ∈ E soit extérieur à A, il faut et il suffit que d(x,A) > 0.
En effet cette condition implique que B(x;d(x,A)) ⊆ E-A, donc x est intérieur à E-A. Réciproquement, si x est extérieur à A, il, existe une boule B(x;r) avec r > 0 contenue dans E-A; pour chaque y ∈ A, nous avons alors d(x,y) > r, donc d(x,A) ≥ r.
Exemples
Dans n'importe quel espace topologique, l'intérieur de l'ensemble vide est l'ensemble vide.
Dans n'importe quel espace topologique E, l'intérieur de E est E.
Dans tout espace $\mathbb{R}^{n}$ muni de la distance euclidienne , l'intérieur d'un ensemble fini est l'ensemble vide.
Dans un espace muni de la topologie grossière où les seuls ouverts sont l'espace total et l'ensemble vide, toute partie stricte est d'intérieur vide.
Dans $\mathbb{R}$ muni de la distance ususelle :
- L'intérieur de $\mathbb{Q}$ est vide.
- L'intérieur de $\mathbb{R}$ - $\mathbb{Q}$ est vide.
- L'intérieur de [0,1] est ]0,1[
- L'intérieur de ]0,1] est ]0,1[
- L'intérieur de [0,1[ est ]0,1[