Sommes hilbertiennes

Soit En une suite d'espaces de Hilbert ; sur chaque En on note le produit scalaire (xn|yn).
Soit E l'ensemble de toutes les suites (x1,x2,...,xn, ...) telles que xn∈En pour tout n, et telles que la série (||xn||2) soit convergente.
Définissons d'abord sur E une structure d'espace vectoriel.
Si x=(xn)n∈ℕ est un élément de E nous posons λx=(λxn)n∈ℕ.
Si y=(yn)n∈ℕ est un autre élément de E, nous posons x+y=(xn+yn)n∈ℕ.
Il est clair que si x∈E alors λx∈E pour tout scalaire λ.
Le fait que E soit stable pour la somme résulte de ||xn+yn||2≤2(||xn||2+||yn||2), inégalité qui résulte elle-même de la règle du parallélogramme.
E est donc bien un espace vectoriel, sous-espace de l'espace de toutes les suites (xn)n∈ℕ.
Nous munissons maintenant E d'un produit scalaire.
Remarquons que d'après Cauchy-Schwarz, on a $$\left | \left ( x_{n}|y_{n} \right ) \right |\leqslant \left \| x_{n} \right \|.\left \| y_{n} \right \|\leqslant \frac{1}{2}\left ( \left \| x_{n} \right \|^{2}+ \left \| y_{n} \right \|^{2} \right )$$
Ce qui prouve que la série de terme général (xn|yn) (réel ou complexe) est absolument convergente, donc convergente.
Nous définissons maintenant (x|y) comme la somme de cette série :
$$\left ( x|y \right )=\sum_{n=0}^{\infty }(x_{n}|y_{n})$$
On vérifie immédiatement que l'application (x,y) → (x|y) est une forme hermitienne positive non dégénérée, donc un produit scalaire.

L'espace E avec ce produit scalaire devient donc un espace pré-hilbertien.

Nous montrons maintenant que :

L'espace pré-hilbertien E ainsi construit est complet.
Soit en effet Xm=(xm,n) une suite de Cauchy dans E. Cela signifie que pour tout ε>0 il existe un entier M tel que p≥M et q≥M ⇒
$$\left \| X_{p}-X_{q} \right \|^{2}=\sum_{n=0}^{\infty }\left \| x_{p,n} -x_{q,n}\right \|^{2}\leqslant \epsilon $$
Il en résulte que pour chaque n fixé
$$\left \| x_{p,n} -x_{q,n}\right \|^{2}\leqslant \epsilon $$
La suite (xm,n) est donc une suite de Cauchy dans En, qui converge vers une limite yn.
On en déduit que pour tout N donné
$$\left \| X_{p}-X_{q} \right \|^{2}=\sum_{n=0}^{N}\left \| x_{p,n} -x_{q,n}\right \|^{2}\leqslant \epsilon $$
dès que p et q sont ≥ M, et d'après la continuité de la norme, on en déduit par passage à la limite :
$$\left \| X_{p}-X_{q} \right \|^{2}=\sum_{n=0}^{N}\left \| x_{p,n} -y_{n}\right \|^{2}\leqslant \epsilon $$
pour tout p≥M.
Cependant ceci est vrai pour toutes les valeurs de N, on en déduit donc :
$$\left \| X_{p}-X_{q} \right \|^{2}=\sum_{n=0}^{\infty }\left \| x_{p,n} -y_{n}\right \|^{2}\leqslant \epsilon $$
Cela montre que la suite (xp,n-yn) appartient à E, donc que Y=(yn)∈E.
On a en outre
$$\left \| X_{p}-Y \right \|^{2}\leqslant\epsilon $$
pour p≥M, ce qui montre que Xp converge vers Y, et achève la démonstration.

On dit que l'espace de Hilbert E ainsi construit est la 'somme hilbertienne' de la suite d'espaces de Hilbert En

Remarquons qu'on peut identifier chaque En au sous-espace E'n de E, constitué de toutes les suites (xn) pour lesquelles tous les xn sont nuls sauf éventuellement celui de rang n.
L'application fn : xn → (0,0, ..,0,xn,0, ...,0,...) appelée injection naturelle ou canonique constitue alors un isomorphisme de En sur E'n.
Il résulte de la définition du produit scalaire sur E que chaque F'n est orthogonal à tout F'm pour m≠n. De plus pour tout x=(xn) de E la série (fn(xn)) est convergente dans E et
$x= \sum_{n=0}^{\infty }f_{n}\left ( x_{n} \right )$, la série n'étant pas nécessairement absolument convergente. Ceci prouve, en particulier, que la somme algébrique des sous-espace E'n est dense dans E.
De plus chaque E'n étant isomorphe à En est un espace de Hilbert donc complet, donc fermé dans E.
Le résultat qui suit constitue une réciproque de cela.

Soit F un espace de Hilbert, (Fn) une suite de sous-espaces fermés de F telle que
  1. Les Fn sont deux à deux orthogonaux
  2. La somme algébrique H des sous-espaces Fn est dense dans F.

    3. Dans ces conditions, si E est la somme hilbertienne des Fn, il existe un isomorphisme unique de F sur E qui sur chaque Fn coïncide avec l'injection naturelle jn de Fn dans E.

Soit F'n=jn(Fn)et soit hn l'application de F'n sur Fn réciproque de jn. Soit G la somme algébrique des F'n dans E. La somme étant directe on peut définir une application linéaire h de G dans F coïncidant avec hn sur chaque F'n.
Nous affirmons que h est un isomorphisme de G sur H.
Il en résultera en outre que la somme algébrique des Fn est directe dans F.
D'après la définition du produit scalaire dans E, on doit montrer que :
$$\left ( \sum_{k=0}^{n}x_{k}|\sum_{k=0}^{n}y_{k} \right )=\sum_{k=0}^{n}\left ( j_{k}\left ( x_{k} \right )|j_{k}\left ( y_{k} \right ) \right )$$
pour xk∈Fk et yk∈Fk.
Mais, par hypothèse (xi|yj)=0 si i≠j et le résultat découle du fait que chaque jk est un isomorphisme. D'après ce résultat , il existe un prolongement continu unique $\overline{h}$ de h qui est une application linéaire de $\overline{G}$=E
dans $\overline{H}$=F.
Le principe de prolongement des identités et la continuité du produit scalaire montrent que $\overline{h}$ est un isomorphisme de E sur un sous-espace de F, qui étant complet et dense ne peut être que F lui-même.
L'inverse de $\overline{h}$ satisfait aux conditions de l'énoncé. L'unicité de $\overline{h}$ résulte du fait que $\overline{h}$ est complètement déterminée dans G et continue dans E. Sous les conditions du théorème l'espace de Hilbert F est souvent identifié avec la somme hilbertienne de ses sous-espaces Fn.

Exercices

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