Espaces de fonctions bornées

Nous nous plaçons toujours dans l'espace FA de toutes les fonctions d'un ensemble A quelconque à valeurs dans un espace normé E.

Une fonction f : A → F est dite bornée si le nombre $\sup_{x\in A}\left \| f\left ( x \right ) \right \|$ est fini.

Il est clair que :

L'ensemble $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$ de toutes les fonctions bornées définies sur A et à valeurs dans F est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel FA de toutes les applications de A dans F.

De plus, on vérifie immédiatement que :

Sur l'espace $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$ l'application
$$f\rightarrow \left \| f \right \|=\sup_{x\in A}\left \| f\left ( x \right ) \right \|$$
est une norme.

Si F est de dimension finie et si (ai)1≤i≤n est une base de F telle que ||ai||=1 pour tous les indices i, toute application de A dans f peut s'écrire de manière unique :
$$x\rightarrow f\left ( x \right )=f_{1}\left ( x \right )a_{1}+...f_{n}\left ( x \right )a_{n}$$
Dans ces conditions :

f est bornée si et seulement si les applications scalaires fi (1≤i≤n) sont bornées.

En outre :

La norme de l'application x → fi(x)ai est ||fi||.||ai||=||fi||, la norme de fi étant prise dans $\mathfrak{B}_{K}\left ( A \right )$ (K=ℝ ou ℂ).

Toujours dans ces conditions et compte tenu de ce résultat, de cet autre, et de cet autre encore :

Il existe une constante c telle que pour tout x ∈ A ||fi(x)|| ≤ c||f(x)||, donc ||fi||≤c||f||.

Toujours dans le cas de la dimension finie pour F on désigne par Li le sous-espace de $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$ formé de toutes les applcations bornées de la forme x → f(x)ai où f est une fonction à valeurs scalaires.
Alors en utilisant de nouveau ce résultat et ce résultat

Si F est de dimension finie, $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$ est la somme directe topologique des Li, chacun desquels est isométrique à $\mathfrak{B}_{K}\left ( A \right )$.

En particulier si on considère l'espace vectoriel réel normé sous-jacent à l'espace $\mathfrak{B}_{\mathbb{C}}\left ( A \right )$, on voit qu'il est la somme directe topologique $\mathfrak{B}_{\mathbb{R}}\left ( A \right )$+i$\mathfrak{B}_{\mathbb{R}}\left ( A \right )$
Nous abandonnons maintenant l'hypothèse selon laquelle F est de dimension finie.

Si F est un espace de Banach, $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$ est un espace de Banach aussi.
Soit (fn) une suite de Cauchy dans $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$ ; cela signifie que pour tout ε>0 il existe un entier n0 tel que pour m≥n0 et n ≥n0 ||fm-fn||≤ε.
De la définition de la norme dans $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$, il résulte que ∀x∈A on a
||fm(x)-fn(x)||≤ε pour m≤n0 et n≤n0. Par suite, puisque f est complet la suite (fn(x)) converge vers un élément g(x) ∈F.
On a de plus, en vertu du principe de prolongement des inégalités, ||fm(x)-g(x)||≤ε pour tout x∈A et tout m≥n0. Il en résulte que ||g(x)||≤||fm||+ε, donc g est bornée. De plus on a ||fm-g||≤ε pour tout m≥n0, ce qui signifie que la suite (fn) converge vers g dans $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$.

Exercices

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